प्री-कैलकुलस उदाहरण

$\sqrt{x^{2} - 2 x - 2} + \sqrt{2 x - 3} = 5$

चरण 1

रेडिकैंड को $\sqrt{x^{2} - 2 x - 2}$ में $0$ से बड़ा या उसके बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां परिभाषित किया गया है.

$x^{2} - 2 x - 2 \geq 0$

चरण 2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

असमानता को समीकरण में बदलें.

$x^{2} - 2 x - 2 = 0$

चरण 2.2

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 2.3

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = - 2$ और $c = - 2$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1.1

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.1.2.2

$- 4$ को $- 2$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.1.3

$4$ और $8$ जोड़ें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.1.4

$12$ को $2^{2} \cdot 3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1.4.1

$12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

चरण 2.4.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ को सरल करें.

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

चरण 2.5

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1.1

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.1.2.2

$- 4$ को $- 2$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.1.3

$4$ और $8$ जोड़ें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.1.4

$12$ को $2^{2} \cdot 3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1.4.1

$12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

चरण 2.5.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ को सरल करें.

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

चरण 2.5.4

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$x = 1 + \sqrt{3}$

चरण 2.6

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1.1

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.6.1.2.2

$- 4$ को $- 2$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.6.1.3

$4$ और $8$ जोड़ें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.6.1.4

$12$ को $2^{2} \cdot 3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1.4.1

$12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.6.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.6.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.6.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

चरण 2.6.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ को सरल करें.

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

चरण 2.6.4

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$x = 1 - \sqrt{3}$

चरण 2.7

हल समेकित करें.

$x = 1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}$

चरण 2.8

परीक्षण अंतराल बनाने के लिए प्रत्येक मूल का प्रयोग करें.

$x < 1 - \sqrt{3}$

$1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$

$x > 1 + \sqrt{3}$

चरण 2.9

प्रत्येक अंतराल से एक परीक्षण मान चुनें और यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से अंतराल असमानता को संतुष्ट करते हैं, इस मान को मूल असमानता में प्लग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.9.1

अंतराल $x < 1 - \sqrt{3}$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.9.1.1

अंतराल $x < 1 - \sqrt{3}$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = - 3$

चरण 2.9.1.2

मूल असमानता में $x$ को $- 3$ से बदलें.

${(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3 - 2 \geq 0$

चरण 2.9.1.3

बाईं ओर $13$ दाईं ओर $0$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

सत्य

चरण 2.9.2

अंतराल $1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.9.2.1

अंतराल $1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 0$

चरण 2.9.2.2

मूल असमानता में $x$ को $0$ से बदलें.

${(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 2 \geq 0$

चरण 2.9.2.3

बाईं ओर $- 2$ दाईं ओर $0$ से छोटा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

असत्य

चरण 2.9.3

अंतराल $x > 1 + \sqrt{3}$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.9.3.1

अंतराल $x > 1 + \sqrt{3}$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 5$

चरण 2.9.3.2

मूल असमानता में $x$ को $5$ से बदलें.

${(5)}^{2} - 2 \cdot 5 - 2 \geq 0$

चरण 2.9.3.3

बाईं ओर $13$ दाईं ओर $0$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

सत्य

चरण 2.9.4

यह निर्धारित करने के लिए अंतराल की तुलना करें कि कौन से तत्व मूल असमानता को संतुष्ट करते हैं.

$x < 1 - \sqrt{3}$ सही

$1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ गलत

$x > 1 + \sqrt{3}$ सही

$x < 1 - \sqrt{3}$ सही

$1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ गलत

$x > 1 + \sqrt{3}$ सही

चरण 2.10

हल में सभी सच्चे अंतराल होते हैं.

$x \leq 1 - \sqrt{3}$ या $x \geq 1 + \sqrt{3}$

चरण 3

रेडिकैंड को $\sqrt{2 x - 3}$ में $0$ से बड़ा या उसके बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां परिभाषित किया गया है.

$2 x - 3 \geq 0$

चरण 4

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

असमानता के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$2 x \geq 3$

चरण 4.2

$2 x \geq 3$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$2 x \geq 3$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{3}{2}$

चरण 4.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{3}{2}$

चरण 4.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x \geq \frac{3}{2}$

चरण 5

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$[1 + \sqrt{3}, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \geq 1 + \sqrt{3}}$

चरण 6