प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{9 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

चरण 1

पता करें कि व्यंजक/अभिव्यक्ति $\frac{9 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x}{9 x^{2} + 3 x - 2}$ कहाँ अपरिभाषित है.

$x = - \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}$

चरण 2

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी अनंत असंबद्धता वाले क्षेत्रों में पाए जाते हैं.

कोई ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी नहीं

चरण 3

परिमेय फलन $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ पर विचार करें जहां $n$ न्यूमेरेटर की घात है और $m$ भाजक की घात है.

1. यदि $n < m$ , तो x-अक्ष, $y = 0$ , हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट है.

2. यदि $n = m$ है, तो हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट रेखा $y = \frac{a}{b}$ है.

3. यदि $n > m$ है, तो कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है (एक तिरछी अनंतस्पर्शी है).

चरण 4

$n$ और $m$ पता करें.

$n = 3$

$m = 2$

चरण 5

चूंकि $n > m$ , कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है.

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

चरण 6

बहुपद भाजन का उपयोग करके तिरछी अनंतस्पर्शी पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.1

$9 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.1.1

$9 x^{3}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (9 x^{2}) + 3 x^{2} - 2 x}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

चरण 6.1.1.1.2

$3 x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (9 x^{2}) + x (3 x) - 2 x}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

चरण 6.1.1.1.3

$- 2 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (9 x^{2}) + x (3 x) + x \cdot - 2}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

चरण 6.1.1.1.4

$x (9 x^{2}) + x (3 x)$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (9 x^{2} + 3 x) + x \cdot - 2}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

चरण 6.1.1.1.5

$x (9 x^{2} + 3 x) + x \cdot - 2$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (9 x^{2} + 3 x - 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

चरण 6.1.1.2

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.2.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 9 \cdot - 2 = - 18$ है और जिसका योग $b = 3$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.2.1.1

$3 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (9 x^{2} + 3 (x) - 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

चरण 6.1.1.2.1.2

$3$ को $- 3$ जोड़ $6$ के रूप में फिर से लिखें

$\frac{x (9 x^{2} + (- 3 + 6) x - 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

चरण 6.1.1.2.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x (9 x^{2} - 3 x + 6 x - 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

चरण 6.1.1.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.2.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$\frac{x ((9 x^{2} - 3 x) + 6 x - 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

चरण 6.1.1.2.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$\frac{x (3 x (3 x - 1) + 2 (3 x - 1))}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

चरण 6.1.1.2.3

महत्तम समापवर्तक, $3 x - 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$\frac{x ((3 x - 1) (3 x + 2))}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

चरण 6.1.2

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.1

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.1.1

$3 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{9 x^{2} + 3 (x) - 2}$

चरण 6.1.2.1.2

$3$ को $- 3$ जोड़ $6$ के रूप में फिर से लिखें

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{9 x^{2} + (- 3 + 6) x - 2}$

चरण 6.1.2.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{9 x^{2} - 3 x + 6 x - 2}$

चरण 6.1.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{(9 x^{2} - 3 x) + 6 x - 2}$

चरण 6.1.2.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{3 x (3 x - 1) + 2 (3 x - 1)}$

चरण 6.1.2.3

महत्तम समापवर्तक, $3 x - 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{(3 x - 1) (3 x + 2)}$

चरण 6.1.3

$3 x - 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{(3 x - 1) (3 x + 2)}$

चरण 6.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x (3 x + 2)}{3 x + 2}$

चरण 6.1.4

$3 x + 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x (3 x + 2)}{3 x + 2}$

चरण 6.1.4.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x$

चरण 6.2

चूँकि बहुपद भाजन से कोई बहुपद भाजन नहीं है, इसलिए कोई तिरछी अनंतस्पर्शी नहीं है.

कोई तिरछी अनंतस्पर्शी नहीं

चरण 7

यह सभी अनंतस्पर्शी का सेट है.

कोई ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी नहीं

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

कोई तिरछी अनंतस्पर्शी नहीं

चरण 8