प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{24 x^{2} - 14 x + 1}{4 x - 3}$

चरण 1

पता करें कि व्यंजक/अभिव्यक्ति $\frac{24 x^{2} - 14 x + 1}{4 x - 3}$ कहाँ अपरिभाषित है.

$x = \frac{3}{4}$

चरण 2

परिमेय फलन $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ पर विचार करें जहां $n$ न्यूमेरेटर की घात है और $m$ भाजक की घात है.

1. यदि $n < m$ , तो x-अक्ष, $y = 0$ , हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट है.

2. यदि $n = m$ है, तो हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट रेखा $y = \frac{a}{b}$ है.

3. यदि $n > m$ है, तो कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है (एक तिरछी अनंतस्पर्शी है).

चरण 3

$n$ और $m$ पता करें.

$n = 2$

$m = 1$

चरण 4

चूंकि $n > m$ , कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है.

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

चरण 5

बहुपद भाजन का उपयोग करके तिरछी अनंतस्पर्शी पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 24 \cdot 1 = 24$ है और जिसका योग $b = - 14$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.1

$- 14 x$ में से $- 14$ का गुणनखंड करें.

$\frac{24 x^{2} - 14 (x) + 1}{4 x - 3}$

चरण 5.1.1.2

$- 14$ को $- 2$ जोड़ $- 12$ के रूप में फिर से लिखें

$\frac{24 x^{2} + (- 2 - 12) x + 1}{4 x - 3}$

चरण 5.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{24 x^{2} - 2 x - 12 x + 1}{4 x - 3}$

चरण 5.1.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$\frac{(24 x^{2} - 2 x) - 12 x + 1}{4 x - 3}$

चरण 5.1.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$\frac{2 x (12 x - 1) - (12 x - 1)}{4 x - 3}$

चरण 5.1.3

महत्तम समापवर्तक, $12 x - 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$\frac{(12 x - 1) (2 x - 1)}{4 x - 3}$

चरण 5.2

$(12 x - 1) (2 x - 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{12 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)}{4 x - 3}$

चरण 5.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{12 x (2 x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)}{4 x - 3}$

चरण 5.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{12 x (2 x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

चरण 5.2.4

कोष्ठक हटा दें.

$\frac{12 x \cdot (2 x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

चरण 5.2.5

$x$ ले जाएं.

$\frac{12 \cdot (2 x \cdot x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

चरण 5.2.6

$x$ ले जाएं.

$\frac{12 \cdot (2 x \cdot x) + 12 \cdot (- 1 x) - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

चरण 5.2.7

कोष्ठक हटा दें.

$\frac{12 \cdot (2 x \cdot x) + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

चरण 5.2.8

$12$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{24 x \cdot x + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

चरण 5.2.9

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{24 (x \cdot x) + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

चरण 5.2.10

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{24 (x \cdot x) + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

चरण 5.2.11

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{24 x^{1 + 1} + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

चरण 5.2.12

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{24 x^{2} + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

चरण 5.2.13

$12$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{24 x^{2} - 12 x - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

चरण 5.2.14

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{24 x^{2} - 12 x - 2 x - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

चरण 5.2.15

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{24 x^{2} - 12 x - 2 x + 1}{4 x - 3}$

चरण 5.2.16

$- 12 x$ में से $2 x$ घटाएं.

$\frac{24 x^{2} - 14 x + 1}{4 x - 3}$

चरण 5.3

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$4 x$

$3$

$24 x^{2}$

$14 x$

$1$

चरण 5.4

भाज्य $24 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $4 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$6 x$
	$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$

चरण 5.5

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$6 x$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			+	$24 x^{2}$	-	$18 x$

चरण 5.6

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $24 x^{2} - 18 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$6 x$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$

चरण 5.7

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$6 x$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$

चरण 5.8

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$6 x$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$

चरण 5.9

भाज्य $4 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $4 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$6 x$	+	$1$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$

चरण 5.10

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$6 x$	+	$1$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					+	$4 x$	-	$3$

चरण 5.11

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $4 x - 3$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$6 x$	+	$1$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	+	$3$

चरण 5.12

				$6 x$	+	$1$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	+	$3$
							+	$4$

चरण 5.13

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$6 x + 1 + \frac{4}{4 x - 3}$

चरण 5.14

तिरछी अनंतस्पर्शी दीर्घ विभाजन परिणाम का लंबा भाग है.

$y = 6 x + 1$

चरण 6

यह सभी अनंतस्पर्शी का सेट है.

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी: $x = \frac{3}{4}$

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

तिरछी अनंतस्पर्शी: $y = 6 x + 1$

चरण 7