प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$

चरण 1

पता करें कि व्यंजक/अभिव्यक्ति $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ कहाँ अपरिभाषित है.

$x = - 3, x = 0$

चरण 2

चूँकि $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ $\to$ $- \infty$ को बाईं ओर से $x$ $\to$ $- 3$ और $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ $\to$ $\infty$ को दाईं ओर से $x$ $\to$ $- 3$ के रूप में, फिर (EQUATION6 ) एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है.

$x = - 3$

चरण 3

चूँकि $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ $\to$ $- \infty$ को बाईं ओर से $x$ $\to$ $0$ और $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ $\to$ $\infty$ को दाईं ओर से $x$ $\to$ $0$ के रूप में, फिर (EQUATION6 ) एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है.

$x = 0$

चरण 4

सभी ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी की सूची बनाएंं:

$x = - 3, 0$

चरण 5

परिमेय फलन $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ पर विचार करें जहां $n$ न्यूमेरेटर की घात है और $m$ भाजक की घात है.

1. यदि $n < m$ , तो x-अक्ष, $y = 0$ , हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट है.

2. यदि $n = m$ है, तो हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट रेखा $y = \frac{a}{b}$ है.

3. यदि $n > m$ है, तो कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है (एक तिरछी अनंतस्पर्शी है).

चरण 6

$n$ और $m$ पता करें.

$n = 3$

$m = 2$

चरण 7

चूंकि $n > m$ , कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है.

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

चरण 8

बहुपद भाजन का उपयोग करके तिरछी अनंतस्पर्शी पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1.1

$1$ को $1^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x^{3} + 1^{3}}{x^{2} + 3 x}$

चरण 8.1.1.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण घन हैं, घन सूत्र के योग का उपयोग करके गुणनखंड करें, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ जहाँ $a = x$ और $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})}{x^{2} + 3 x}$

चरण 8.1.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1.3.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})}{x^{2} + 3 x}$

चरण 8.1.1.3.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 3 x}$

चरण 8.1.2

$x^{2} + 3 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.2.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x \cdot x + 3 x}$

चरण 8.1.2.2

$3 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x \cdot x + x \cdot 3}$

चरण 8.1.2.3

$x \cdot x + x \cdot 3$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x (x + 3)}$

चरण 8.2

$(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x (x^{2} - x + 1) + 1 (x^{2} - x + 1)}{x (x + 3)}$

चरण 8.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x (x^{2} - x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x + 1)}{x (x + 3)}$

चरण 8.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x + 1)}{x (x + 3)}$

चरण 8.2.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

चरण 8.2.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

चरण 8.2.6

कोष्ठक हटा दें.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot (- 1 x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

चरण 8.2.7

$x$ और $- 1$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

चरण 8.2.8

$x$ और $1$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + 1 \cdot x + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

चरण 8.2.9

कोष्ठक हटा दें.

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + 1 \cdot x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

चरण 8.2.10

$- 1$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

चरण 8.2.11

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

चरण 8.2.12

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{x^{1 + 2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

चरण 8.2.13

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{x^{3} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

चरण 8.2.14

गुणनखंड ऋणात्मक प्राप्त हुआ.

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

चरण 8.2.15

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

चरण 8.2.16

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

चरण 8.2.17

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{x^{3} - x^{1 + 1} + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

चरण 8.2.18

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{x^{3} - x^{2} + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

चरण 8.2.19

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

चरण 8.2.20

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

चरण 8.2.21

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

चरण 8.2.22

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1}{x (x + 3)}$

चरण 8.2.23

$x$ ले जाएं.

$\frac{x^{3} - x^{2} + x^{2} + x - x + 1}{x (x + 3)}$

चरण 8.2.24

$- x^{2}$ ले जाएं.

$\frac{x^{3} + x^{2} - x^{2} + x - x + 1}{x (x + 3)}$

चरण 8.2.25

$x^{2}$ में से $x^{2}$ घटाएं.

$\frac{x^{3} + 0 + x - x + 1}{x (x + 3)}$

चरण 8.2.26

$x^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{x^{3} + x - x + 1}{x (x + 3)}$

चरण 8.2.27

$x$ में से $x$ घटाएं.

$\frac{x^{3} + 0 + 1}{x (x + 3)}$

चरण 8.2.28

$x^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{x^{3} + 1}{x (x + 3)}$

चरण 8.3

$x (x + 3)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{3} + 1}{x \cdot x + x \cdot 3}$

चरण 8.3.2

$x$ और $3$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{x^{3} + 1}{x \cdot x + 3 x}$

चरण 8.3.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x^{3} + 1}{x \cdot x + 3 x}$

चरण 8.3.4

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x^{3} + 1}{x \cdot x + 3 x}$

चरण 8.3.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{x^{3} + 1}{x^{1 + 1} + 3 x}$

चरण 8.3.6

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$

चरण 8.4

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

चरण 8.5

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x^{2}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

चरण 8.6

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

चरण 8.7

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} + 3 x^{2} + 0$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

चरण 8.8

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

चरण 8.9

मूल भाज्य से अगले पद को वर्तमान लाभांश में नीचे खींचें.

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

$1$

चरण 8.10

भाज्य $- 3 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x^{2}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$0$
							-	$3 x^{2}$	+	$0$	+	$1$

चरण 8.11

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$0$
							-	$3 x^{2}$	+	$0$	+	$1$
							-	$3 x^{2}$	-	$9 x$	+	$0$

चरण 8.12

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 3 x^{2} - 9 x + 0$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$x$

$3$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

$1$

$3 x^{2}$

$9 x$

$0$

चरण 8.13

$x$

$3$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

$1$

$3 x^{2}$

$9 x$

$0$

$9 x$

$1$

चरण 8.14

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$x - 3 + \frac{9 x + 1}{x^{2} + 3 x}$

चरण 8.15

तिरछी अनंतस्पर्शी दीर्घ विभाजन परिणाम का लंबा भाग है.

$y = x - 3$

चरण 9

यह सभी अनंतस्पर्शी का सेट है.

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी: $x = - 3, 0$

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

तिरछी अनंतस्पर्शी: $y = x - 3$

चरण 10