प्री-कैलकुलस उदाहरण

$x^{2} - y^{2} = 81$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x^{2}$ घटाएं.

$- y^{2} = 81 - x^{2}$

चरण 2

$- y^{2} = 81 - x^{2}$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$- y^{2} = 81 - x^{2}$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{81}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

चरण 2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{81}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

चरण 2.2.2

$y^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y^{2} = \frac{81}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

चरण 2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

$81$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$y^{2} = - 81 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

चरण 2.3.1.2

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$y^{2} = - 81 + \frac{x^{2}}{1}$

चरण 2.3.1.3

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y^{2} = - 81 + x^{2}$

चरण 3

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y = \pm \sqrt{- 81 + x^{2}}$

चरण 4

$\pm \sqrt{- 81 + x^{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$81$ को $9^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm \sqrt{- 9^{2} + x^{2}}$

चरण 4.1.2

$- 9^{2}$ और $x^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \pm \sqrt{x^{2} - 9^{2}}$

चरण 4.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 9$ .

$y = \pm \sqrt{(x + 9) (x - 9)}$

चरण 5

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$y = \sqrt{(x + 9) (x - 9)}$

चरण 5.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$y = - \sqrt{(x + 9) (x - 9)}$

चरण 5.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$y = \sqrt{(x + 9) (x - 9)}$

$y = - \sqrt{(x + 9) (x - 9)}$

$y = \sqrt{(x + 9) (x - 9)}$

$y = - \sqrt{(x + 9) (x - 9)}$

चरण 6

रेडिकैंड को $\sqrt{(x + 9) (x - 9)}$ में $0$ से बड़ा या उसके बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां परिभाषित किया गया है.

$(x + 9) (x - 9) \geq 0$

चरण 7

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x + 9 = 0$

$x - 9 = 0$

चरण 7.2

$x + 9$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$x + 9$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 9 = 0$

चरण 7.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $9$ घटाएं.

$x = - 9$

चरण 7.3

$x - 9$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$x - 9$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 9 = 0$

चरण 7.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $9$ जोड़ें.

$x = 9$

चरण 7.4

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x + 9) (x - 9) \geq 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - 9, 9$

चरण 7.5

परीक्षण अंतराल बनाने के लिए प्रत्येक मूल का प्रयोग करें.

$x < - 9$

$- 9 < x < 9$

$x > 9$

चरण 7.6

प्रत्येक अंतराल से एक परीक्षण मान चुनें और यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से अंतराल असमानता को संतुष्ट करते हैं, इस मान को मूल असमानता में प्लग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.6.1

अंतराल $x < - 9$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.6.1.1

अंतराल $x < - 9$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = - 12$

चरण 7.6.1.2

मूल असमानता में $x$ को $- 12$ से बदलें.

$((- 12) + 9) ((- 12) - 9) \geq 0$

चरण 7.6.1.3

बाईं ओर $63$ दाईं ओर $0$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

सत्य

चरण 7.6.2

अंतराल $- 9 < x < 9$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.6.2.1

अंतराल $- 9 < x < 9$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 0$

चरण 7.6.2.2

मूल असमानता में $x$ को $0$ से बदलें.

$((0) + 9) ((0) - 9) \geq 0$

चरण 7.6.2.3

बाईं ओर $- 81$ दाईं ओर $0$ से छोटा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

असत्य

चरण 7.6.3

अंतराल $x > 9$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.6.3.1

अंतराल $x > 9$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 12$

चरण 7.6.3.2

मूल असमानता में $x$ को $12$ से बदलें.

$((12) + 9) ((12) - 9) \geq 0$

चरण 7.6.3.3

बाईं ओर $63$ दाईं ओर $0$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

सत्य

चरण 7.6.4

यह निर्धारित करने के लिए अंतराल की तुलना करें कि कौन से तत्व मूल असमानता को संतुष्ट करते हैं.

$x < - 9$ सही

$- 9 < x < 9$ गलत

$x > 9$ सही

$x < - 9$ सही

$- 9 < x < 9$ गलत

$x > 9$ सही

चरण 7.7

हल में सभी सच्चे अंतराल होते हैं.

$x \leq - 9$ या $x \geq 9$

चरण 8

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, - 9] \cup [9, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \leq - 9, x \geq 9}$

चरण 9

श्रेणी सभी मान्य $y$ मानों का सेट है. परिसर पता करने के लिए ग्राफ का प्रयोग करें.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${y | y \in ℝ}$

चरण 10

डोमेन और परिसर निर्धारित करें.

डोमेन: $(- \infty, - 9] \cup [9, \infty), {x | x \leq - 9, x \geq 9}$

परिसर: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

चरण 11