प्री-कैलकुलस उदाहरण

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{16} = 1$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{{(x - 1)}^{2}}{16}$ जोड़ें.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = 1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{16}$

चरण 2

$1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{16}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

एक भिन्न में जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16}{16} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{16}$

चरण 2.1.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + {(x - 1)}^{2}}{16}$

चरण 2.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

${(x - 1)}^{2}$ को $(x - 1) (x - 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + (x - 1) (x - 1)}{16}$

चरण 2.2.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(x - 1) (x - 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x (x - 1) - 1 (x - 1)}{16}$

चरण 2.2.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}{16}$

चरण 2.2.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{16}$

चरण 2.2.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{16}$

चरण 2.2.3.1.2

$- 1$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1}{16}$

चरण 2.2.3.1.3

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1}{16}$

चरण 2.2.3.1.4

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1}{16}$

चरण 2.2.3.1.5

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} - x - x + 1}{16}$

चरण 2.2.3.2

$- x$ में से $x$ घटाएं.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} - 2 x + 1}{16}$

चरण 2.2.4

$16$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{x^{2} - 2 x + 17}{16}$

चरण 3

समीकरण के दोनों पक्षों को $4$ से गुणा करें.

$4 \frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = 4 \frac{x^{2} - 2 x + 17}{16}$

चरण 4

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 \frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = 4 \frac{x^{2} - 2 x + 17}{16}$

चरण 4.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

${(y + 5)}^{2} = 4 \frac{x^{2} - 2 x + 17}{16}$

चरण 4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

$16$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

${(y + 5)}^{2} = 4 \frac{x^{2} - 2 x + 17}{4 (4)}$

चरण 4.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${(y + 5)}^{2} = 4 \frac{x^{2} - 2 x + 17}{4 \cdot 4}$

चरण 4.2.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

${(y + 5)}^{2} = \frac{x^{2} - 2 x + 17}{4}$

चरण 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y + 5 = \pm \sqrt{\frac{x^{2} - 2 x + 17}{4}}$

चरण 6

$\pm \sqrt{\frac{x^{2} - 2 x + 17}{4}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{x^{2} - 2 x + 17}{4}$ को ${(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 2 x + 17)$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$x^{2} - 2 x + 17$ में से पूर्ण घात $1^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y + 5 = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 2 x + 17)}{4}}$

चरण 6.1.2

$4$ में से पूर्ण घात $2^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y + 5 = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 2 x + 17)}{2^{2} \cdot 1}}$

चरण 6.1.3

भिन्न को पुनर्व्यवस्थित करें $\frac{1^{2} (x^{2} - 2 x + 17)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y + 5 = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 2 x + 17)}$

चरण 6.2

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$y + 5 = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x^{2} - 2 x + 17}$

चरण 6.3

$\frac{1}{2}$ और $\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}$ को मिलाएं.

$y + 5 = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2}$

चरण 7

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$y + 5 = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2}$

चरण 7.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $5$ घटाएं.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

चरण 7.3

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$y + 5 = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2}$

चरण 7.4

समीकरण के दोनों पक्षों से $5$ घटाएं.

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

चरण 7.5

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

चरण 8

रेडिकैंड को $\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}$ में $0$ से बड़ा या उसके बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां परिभाषित किया गया है.

$x^{2} - 2 x + 17 \geq 0$

चरण 9

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

असमानता को समीकरण में बदलें.

$x^{2} - 2 x + 17 = 0$

चरण 9.2

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 9.3

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = - 2$ और $c = 17$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 17)}}{2 \cdot 1}$

चरण 9.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.4.1.1

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

चरण 9.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 17$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.4.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

चरण 9.4.1.2.2

$- 4$ को $17$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 68}}{2 \cdot 1}$

चरण 9.4.1.3

$4$ में से $68$ घटाएं.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

चरण 9.4.1.4

$- 64$ को $- 1 (64)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

चरण 9.4.1.5

$\sqrt{- 1 (64)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

चरण 9.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

चरण 9.4.1.7

$64$ को $8^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

चरण 9.4.1.8

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

चरण 9.4.1.9

$8$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

चरण 9.4.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2}$

चरण 9.4.3

$\frac{2 \pm 8 i}{2}$ को सरल करें.

$x = 1 \pm 4 i$

चरण 9.5

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.5.1.1

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

चरण 9.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 17$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.5.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

चरण 9.5.1.2.2

$- 4$ को $17$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 68}}{2 \cdot 1}$

चरण 9.5.1.3

$4$ में से $68$ घटाएं.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

चरण 9.5.1.4

$- 64$ को $- 1 (64)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

चरण 9.5.1.5

$\sqrt{- 1 (64)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

चरण 9.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

चरण 9.5.1.7

$64$ को $8^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

चरण 9.5.1.8

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

चरण 9.5.1.9

$8$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

चरण 9.5.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2}$

चरण 9.5.3

$\frac{2 \pm 8 i}{2}$ को सरल करें.

$x = 1 \pm 4 i$

चरण 9.5.4

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$x = 1 + 4 i$

चरण 9.6

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.6.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.6.1.1

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

चरण 9.6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 17$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.6.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

चरण 9.6.1.2.2

$- 4$ को $17$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 68}}{2 \cdot 1}$

चरण 9.6.1.3

$4$ में से $68$ घटाएं.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

चरण 9.6.1.4

$- 64$ को $- 1 (64)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

चरण 9.6.1.5

$\sqrt{- 1 (64)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

चरण 9.6.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

चरण 9.6.1.7

$64$ को $8^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

चरण 9.6.1.8

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

चरण 9.6.1.9

$8$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

चरण 9.6.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2}$

चरण 9.6.3

$\frac{2 \pm 8 i}{2}$ को सरल करें.

$x = 1 \pm 4 i$

चरण 9.6.4

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$x = 1 - 4 i$

चरण 9.7

प्रमुख गुणांक की पहचान करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.7.1

एक बहुपद में प्रमुख पद उच्चतम घात वाला पद है.

$x^{2}$

चरण 9.7.2

एक बहुपद में प्रमुख गुणांक प्रमुख पद का गुणांक होता है.

$1$

चरण 9.8

चूंकि कोई वास्तविक x- अंत:खंड नहीं है और प्रमुख गुणांक धनात्मक है, परवलय खुलता है और $x^{2} - 2 x + 17$ हमेशा $0$ से बड़ा होता है.

सभी वास्तविक संख्या

चरण 10

डोमेन सभी वास्तविक संख्याएं हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 11

श्रेणी सभी मान्य $y$ मानों का सेट है. परिसर पता करने के लिए ग्राफ का प्रयोग करें.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, - 7] \cup [- 3, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${y | y \leq - 7, y \geq - 3}$

चरण 12

डोमेन और परिसर निर्धारित करें.

डोमेन: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

परिसर: $(- \infty, - 7] \cup [- 3, \infty), {y | y \leq - 7, y \geq - 3}$

चरण 13