प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} - 14 x + 28$

चरण 1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 7, \pm 14, \pm 28$

$q = \pm 1, \pm 2$

चरण 2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 4, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm 14, \pm 28$

चरण 3

वास्तविक मूल ज्ञात करने के लिए बहुपद में संभावित मूलों को एक-एक करके प्रतिस्थापित करें. यह जांचने के लिए सरल करें कि क्या मान $0$ है, जिसका मतलब है कि यह एक मूल है.

$2 {(2)}^{3} - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

चरण 4

व्यंजक को सरल बनाएंं. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $x = 2$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

घातांक जोड़कर $2$ को ${(2)}^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1.1

$2$ को ${(2)}^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1.1.1

$2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2^{1} {(2)}^{3} - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

चरण 4.1.1.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2^{1 + 3} - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

चरण 4.1.1.2

$1$ और $3$ जोड़ें.

$2^{4} - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

चरण 4.1.2

$2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$16 - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

चरण 4.1.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$16 - 4 \cdot 4 - 14 \cdot 2 + 28$

चरण 4.1.4

$- 4$ को $4$ से गुणा करें.

$16 - 16 - 14 \cdot 2 + 28$

चरण 4.1.5

$- 14$ को $2$ से गुणा करें.

$16 - 16 - 28 + 28$

चरण 4.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$16$ में से $16$ घटाएं.

$0 - 28 + 28$

चरण 4.2.2

$0$ में से $28$ घटाएं.

$- 28 + 28$

चरण 4.2.3

$- 28$ और $28$ जोड़ें.

$0$

चरण 5

चूंकि $2$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x - 2$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 14 x + 28}{x - 2}$

चरण 6

इसके बाद, शेष बहुपद के मूल ज्ञात कीजिए. बहुपद के क्रम को $1$ से कम कर दिया गया है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$

चरण 6.2

भाज्य $(2)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$

	$2$

चरण 6.3

परिणाम $(2)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(2)$ से गुणा करें और $(4)$ के परिणाम को भाज्य $(- 4)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$
	$2$

चरण 6.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$
	$2$	$0$

चरण 6.5

परिणाम $(0)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(2)$ से गुणा करें और $(0)$ के परिणाम को भाज्य $(- 14)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$	$0$
	$2$	$0$

चरण 6.6

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$	$0$
	$2$	$0$	$- 14$

चरण 6.7

परिणाम $(- 14)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(2)$ से गुणा करें और $(- 28)$ के परिणाम को भाज्य $(28)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$	$0$	$- 28$
	$2$	$0$	$- 14$

चरण 6.8

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$	$0$	$- 28$
	$2$	$0$	$- 14$	$0$

चरण 6.9

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$2 x^{2} + 0 x - 14$

चरण 6.10

भागफल बहुपद को सरल करें.

$2 x^{2} - 14$

चरण 7

$2 x^{2} - 14$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$2 x^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$(x - 2) (2 (x^{2}) - 14)$

चरण 7.2

$- 14$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$(x - 2) (2 x^{2} + 2 \cdot - 7)$

चरण 7.3

$2 x^{2} + 2 \cdot - 7$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$(x - 2) (2 (x^{2} - 7))$

चरण 8

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$2 x^{3} - 4 x^{2} - 14 x + 28$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$2 x^{3}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (x^{3}) - 4 x^{2} - 14 x + 28 = 0$

चरण 8.1.2

$- 4 x^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (x^{3}) + 2 (- 2 x^{2}) - 14 x + 28 = 0$

चरण 8.1.3

$- 14 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (x^{3}) + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 28 = 0$

चरण 8.1.4

$28$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 x^{3} + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot 14 = 0$

चरण 8.1.5

$2 x^{3} + 2 (- 2 x^{2})$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (x^{3} - 2 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot 14 = 0$

चरण 8.1.6

$2 (x^{3} - 2 x^{2}) + 2 (- 7 x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (x^{3} - 2 x^{2} - 7 x) + 2 \cdot 14 = 0$

चरण 8.1.7

$2 (x^{3} - 2 x^{2} - 7 x) + 2 \cdot 14$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (x^{3} - 2 x^{2} - 7 x + 14) = 0$

चरण 8.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$2 ((x^{3} - 2 x^{2}) - 7 x + 14) = 0$

चरण 8.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$2 (x^{2} (x - 2) - 7 (x - 2)) = 0$

चरण 8.3

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

महत्तम समापवर्तक, $x - 2$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$2 ((x - 2) (x^{2} - 7)) = 0$

चरण 8.3.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$2 (x - 2) (x^{2} - 7) = 0$

चरण 9

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x - 2 = 0$

$x^{2} - 7 = 0$

चरण 10

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 2 = 0$

चरण 10.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$x = 2$

चरण 11

$x^{2} - 7$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$x^{2} - 7$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} - 7 = 0$

चरण 11.2

$x$ के लिए $x^{2} - 7 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $7$ जोड़ें.

$x^{2} = 7$

चरण 11.2.2

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{7}$

चरण 11.2.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.3.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = \sqrt{7}$

चरण 11.2.3.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - \sqrt{7}$

चरण 11.2.3.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

चरण 12

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $2 (x - 2) (x^{2} - 7) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 2, \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

चरण 13

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$x = 2, \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

दशमलव रूप:

$x = 2, 2.64575131 \dots, - 2.64575131 \dots$

चरण 14