प्री-कैलकुलस उदाहरण

$\frac{x^{4} + x^{2} - 9 x - 12}{x^{4} + 3 x^{2}}$

चरण 1

भिन्न को विघटित करें और सामान्य भाजक से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$x^{4} + 3 x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x^{4}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{4} + x^{2} - 9 x - 12}{x^{2} x^{2} + 3 x^{2}}$

चरण 1.1.2

$3 x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{4} + x^{2} - 9 x - 12}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3}$

चरण 1.1.3

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{4} + x^{2} - 9 x - 12}{x^{2} (x^{2} + 3)}$

चरण 1.2

भाजक में प्रत्येक कारक के लिए, भिन्न के रूप में कारक का उपयोग करके और न्यूमेरेटर के रूप में एक अज्ञात मान का उपयोग करके एक नया न्यूमेरेटर बनाएंं. चूँकि गुणनखंड दूसरा क्रम है, न्यूमेरेटर में $2$ पद आवश्यक हैं. न्यूमेरेटर में आवश्यक पदों की संख्या हमेशा भाजक के गुणनखंड के क्रम के बराबर होती है.

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x + D}{x^{2} + 3}$

चरण 1.3

मूल व्यंजक के भाजक से समीकरण में प्रत्येक भिन्न को गुणा करें. इस स्थिति में, भाजक $x^{2} (x^{2} + 3)$ होगा.

$\frac{(x^{4} + x^{2} - 9 x - 12) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} (x^{2} + 3)} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

चरण 1.4

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(x^{4} + x^{2} - 9 x - 12) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} (x^{2} + 3)} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

चरण 1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{(x^{4} + x^{2} - 9 x - 12) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

चरण 1.5

$x^{2} + 3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(x^{4} + x^{2} - 9 x - 12) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

चरण 1.5.2

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

चरण 1.6

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

चरण 1.6.1.2

$A (x^{2} + 3)$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A (x^{2} + 3) + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

चरण 1.6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + A \cdot 3 + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

चरण 1.6.3

$3$ को $A$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

चरण 1.6.4

$x^{2}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.4.1

$B (x^{2} (x^{2} + 3))$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 3)))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

चरण 1.6.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.4.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 3)))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

चरण 1.6.4.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 3)))}{x \cdot 1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

चरण 1.6.4.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 3)))}{x \cdot 1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

चरण 1.6.4.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + \frac{B (x (x^{2} + 3))}{1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

चरण 1.6.4.2.5

$B (x (x^{2} + 3))$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B (x (x^{2} + 3)) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

चरण 1.6.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B (x \cdot x^{2} + x \cdot 3) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

चरण 1.6.6

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.6.1

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.6.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B (x \cdot x^{2} + x \cdot 3) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

चरण 1.6.6.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B (x^{1 + 2} + x \cdot 3) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

चरण 1.6.6.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B (x^{3} + x \cdot 3) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

चरण 1.6.7

$3$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B (x^{3} + 3 \cdot x) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

चरण 1.6.8

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + B (3 x) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

चरण 1.6.9

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

चरण 1.6.10

$x^{2} + 3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.10.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

चरण 1.6.10.2

$(C x + D) (x^{2})$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + (C x + D) (x^{2})$

चरण 1.6.11

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + C x \cdot x^{2} + D x^{2}$

चरण 1.6.12

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.12.1

$x^{2}$ ले जाएं.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + C (x^{2} x) + D x^{2}$

चरण 1.6.12.2

$x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.12.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + C (x^{2} x) + D x^{2}$

चरण 1.6.12.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + C x^{2 + 1} + D x^{2}$

चरण 1.6.12.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + C x^{3} + D x^{2}$

चरण 1.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

$B$ ले जाएं.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 x B + C x^{3} + D x^{2}$

चरण 1.7.2

$3 A$ ले जाएं.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + B x^{3} + 3 x B + C x^{3} + D x^{2} + 3 A$

चरण 1.7.3

$3 x B$ ले जाएं.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + B x^{3} + C x^{3} + D x^{2} + 3 x B + 3 A$

चरण 1.7.4

$A x^{2}$ ले जाएं.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = B x^{3} + C x^{3} + A x^{2} + D x^{2} + 3 x B + 3 A$

चरण 2

आंशिक भिन्न चर के लिए समीकरण बनाएंं और समीकरणों की प्रणाली स्थापित करने के लिए उनका उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समीकरण के दोनों ओर के $x^{3}$ के पक्ष को समान करके आंशिक भिन्न चरों के लिए एक समीकरण बनाएंँ. समीकरण को समान बनाने के लिए समीकरण के दोनों ओर के तुल्यांकी पक्ष को समान होना होगा.

$0 = B + C$

चरण 2.2

समीकरण के दोनों ओर के $x^{2}$ के पक्ष को समान करके आंशिक भिन्न चरों के लिए एक समीकरण बनाएंँ. समीकरण को समान बनाने के लिए समीकरण के दोनों ओर के तुल्यांकी पक्ष को समान होना होगा.

$1 = A + D$

चरण 2.3

समीकरण के दोनों ओर के $x$ के पक्ष को समान करके आंशिक भिन्न चरों के लिए एक समीकरण बनाएंँ. समीकरण को समान बनाने के लिए समीकरण के दोनों ओर के तुल्यांकी पक्ष को समान होना होगा.

$- 9 = 3 B$

चरण 2.4

उन पदों, जिनमें $x$ न हो, के गुणांकों को समान करके आंशिक भिन्न चरों के लिए एक समीकरण बनाएंँ. समीकरण को समान बनाने के लिए समीकरण के दोनों ओर के तुल्यांकी पक्ष को समान होना चाहिए.

$- 12 = 3 A$

चरण 2.5

आंशिक भिन्नों के गुणांक ज्ञात करने के लिए समीकरणों की प्रणाली सेट करें.

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 9 = 3 B$

$- 12 = 3 A$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 9 = 3 B$

$- 12 = 3 A$

चरण 3

समीकरणों की प्रणाली को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$B$ के लिए $- 9 = 3 B$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

समीकरण को $3 B = - 9$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 B = - 9$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

चरण 3.1.2

$3 B = - 9$ के प्रत्येक पद को $3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

$3 B = - 9$ के प्रत्येक पद को $3$ से विभाजित करें.

$\frac{3 B}{3} = \frac{- 9}{3}$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

चरण 3.1.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 B}{3} = \frac{- 9}{3}$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

चरण 3.1.2.2.1.2

$B$ को $1$ से विभाजित करें.

$B = \frac{- 9}{3}$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

$B = \frac{- 9}{3}$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

$B = \frac{- 9}{3}$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

चरण 3.1.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.3.1

$- 9$ को $3$ से विभाजित करें.

$B = - 3$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

$B = - 3$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

$B = - 3$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

$B = - 3$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

चरण 3.2

प्रत्येक समीकरण में $B$ की सभी घटनाओं को $- 3$ से बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$B$ की सभी घटनाओं को $0 = B + C$ में $- 3$ से बदलें.

$0 = (- 3) + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

चरण 3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

चरण 3.2.3

समीकरण को $3 A = - 12$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 A = - 12$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

चरण 3.2.4

$3 A = - 12$ के प्रत्येक पद को $3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.1

$3 A = - 12$ के प्रत्येक पद को $3$ से विभाजित करें.

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 12}{3}$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

चरण 3.2.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 12}{3}$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

चरण 3.2.4.2.1.2

$A$ को $1$ से विभाजित करें.

$A = \frac{- 12}{3}$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$A = \frac{- 12}{3}$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$A = \frac{- 12}{3}$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

चरण 3.2.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.3.1

$- 12$ को $3$ से विभाजित करें.

$A = - 4$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$A = - 4$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$A = - 4$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$A = - 4$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

चरण 3.3

प्रत्येक समीकरण में $A$ की सभी घटनाओं को $- 4$ से बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

समीकरण को $- 3 + C = 0$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 3 + C = 0$

$A = - 4$

$B = - 3$

$1 = A + D$

चरण 3.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

$1 = A + D$

चरण 3.3.3

$A$ की सभी घटनाओं को $1 = A + D$ में $- 4$ से बदलें.

$1 = (- 4) + D$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

चरण 3.3.4

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.4.1

कोष्ठक हटा दें.

$1 = - 4 + D$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

$1 = - 4 + D$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

$1 = - 4 + D$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

चरण 3.4

$D$ के लिए $1 = - 4 + D$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

समीकरण को $- 4 + D = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 4 + D = 1$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

चरण 3.4.2

$D$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$D = 1 + 4$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

चरण 3.4.2.2

$1$ और $4$ जोड़ें.

$D = 5$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

$D = 5$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

$D = 5$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

चरण 3.5

समीकरणों की प्रणाली को हल करें.

$D = 5 C = 3 A = - 4 B = - 3$

चरण 3.6

सभी हलों की सूची बनाएंं.

$D = 5, C = 3, A = - 4, B = - 3$

चरण 4

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x + D}{x^{2} + 3}$ में प्रत्येक आंशिक भिन्न गुणांक को $A$ , $B$ , $C$ और $D$ के लिए पाए गए मानों से बदलें.

$- \frac{4}{x^{2}} - \frac{3}{x} + \frac{3 x + 5}{x^{2} + 3}$

चरण 5

$3$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{- 4}{x^{2}} + \frac{- 3}{x} + \frac{3 x + 5}{x^{2} + 3}$