प्री-कैलकुलस उदाहरण

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x (x^{2} + 1)}$

चरण 1

लंबे बहुपद भाजन का उपयोग करके विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$x (x^{2} + 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

चरण 1.1.2

$x$ और $1$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + 1 x}$

चरण 1.1.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + 1 x}$

चरण 1.1.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{1 + 2} + 1 x}$

चरण 1.1.5

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{3} + 1 x}$

चरण 1.1.6

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{3} + x}$

चरण 1.2

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

चरण 1.3

भाज्य $x^{4}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x^{3}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

चरण 1.4

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

चरण 1.5

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{4} + 0 + x^{2} + 0$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

चरण 1.6

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

$2 x^{2}$

$0$

चरण 1.7

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

$2 x^{2}$

$0$

$1$

चरण 1.8

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$x + \frac{2 x^{2} + 1}{x^{3} + x}$

चरण 2

भिन्न को विघटित करें और सामान्य भाजक से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x^{3} + x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$x^{3}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x}$

चरण 2.1.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x^{1}}$

चरण 2.1.3

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

चरण 2.1.4

$x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 x^{2} + 1}{x (x^{2} + 1)}$

चरण 2.2

भाजक में प्रत्येक कारक के लिए, भिन्न के रूप में कारक का उपयोग करके और न्यूमेरेटर के रूप में एक अज्ञात मान का उपयोग करके एक नया न्यूमेरेटर बनाएंं. चूँकि गुणनखंड दूसरा क्रम है, न्यूमेरेटर में $2$ पद आवश्यक हैं. न्यूमेरेटर में आवश्यक पदों की संख्या हमेशा भाजक के गुणनखंड के क्रम के बराबर होती है.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

चरण 2.3

मूल व्यंजक के भाजक से समीकरण में प्रत्येक भिन्न को गुणा करें. इस स्थिति में, भाजक $x (x^{2} + 1)$ होगा.

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

चरण 2.4

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

चरण 2.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

चरण 2.5

$x^{2} + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

चरण 2.5.2

$2 x^{2} + 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 x^{2} + 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

चरण 2.6

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 x^{2} + 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

चरण 2.6.1.2

$A (x^{2} + 1)$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 x^{2} + 1 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

चरण 2.6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

चरण 2.6.3

$A$ को $1$ से गुणा करें.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

चरण 2.6.4

$x^{2} + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

चरण 2.6.4.2

$(B x + C) (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

चरण 2.6.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

चरण 2.6.6

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.6.1

$x$ ले जाएं.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

चरण 2.6.6.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

चरण 2.7

$A$ ले जाएं.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

चरण 3

आंशिक भिन्न चर के लिए समीकरण बनाएंं और समीकरणों की प्रणाली स्थापित करने के लिए उनका उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों ओर के $x^{2}$ के पक्ष को समान करके आंशिक भिन्न चरों के लिए एक समीकरण बनाएंँ. समीकरण को समान बनाने के लिए समीकरण के दोनों ओर के तुल्यांकी पक्ष को समान होना होगा.

$2 = A + B$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों ओर के $x$ के पक्ष को समान करके आंशिक भिन्न चरों के लिए एक समीकरण बनाएंँ. समीकरण को समान बनाने के लिए समीकरण के दोनों ओर के तुल्यांकी पक्ष को समान होना होगा.

$0 = C$

चरण 3.3

उन पदों, जिनमें $x$ न हो, के गुणांकों को समान करके आंशिक भिन्न चरों के लिए एक समीकरण बनाएंँ. समीकरण को समान बनाने के लिए समीकरण के दोनों ओर के तुल्यांकी पक्ष को समान होना चाहिए.

$1 = A$

चरण 3.4

आंशिक भिन्नों के गुणांक ज्ञात करने के लिए समीकरणों की प्रणाली सेट करें.

$2 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$2 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

चरण 4

समीकरणों की प्रणाली को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समीकरण को $C = 0$ के रूप में फिर से लिखें.

$C = 0$

$2 = A + B$

$1 = A$

चरण 4.2

समीकरण को $A = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$A = 1$

$C = 0$

$2 = A + B$

चरण 4.3

प्रत्येक समीकरण में $A$ की सभी घटनाओं को $1$ से बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$A$ की सभी घटनाओं को $2 = A + B$ में $1$ से बदलें.

$2 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

चरण 4.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

चरण 4.4

$B$ के लिए $2 = 1 + B$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

समीकरण को $1 + B = 2$ के रूप में फिर से लिखें.

$1 + B = 2$

$A = 1$

$C = 0$

चरण 4.4.2

$B$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$B = 2 - 1$

$A = 1$

$C = 0$

चरण 4.4.2.2

$2$ में से $1$ घटाएं.

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

चरण 4.5

समीकरणों की प्रणाली को हल करें.

$B = 1 A = 1 C = 0$

चरण 4.6

सभी हलों की सूची बनाएंं.

$B = 1, A = 1, C = 0$

चरण 5

$x + \frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ में प्रत्येक आंशिक भिन्न गुणांक को $A$ , $B$ और $C$ के लिए पाए गए मानों से बदलें.

$x + \frac{1}{x} + \frac{1 x + 0}{x^{2} + 1}$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

कोष्ठक हटा दें.

$x + \frac{1}{x} + \frac{(1) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

चरण 6.2

$(1) \cdot x$ और $0$ जोड़ें.

$x + \frac{1}{x} + \frac{(1) \cdot x}{x^{2} + 1}$

चरण 6.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$x + \frac{1}{x} + \frac{x}{x^{2} + 1}$