प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20$

चरण 1

x- अंत:खंड ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

x- अंत:खंड(अंत:खंडों) को ज्ञात करने के लिए, $0$ में $y$ को प्रतिस्थापित करें और $x$ को हल करें.

$0 = x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20$

चरण 1.2

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

समीकरण को $x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20 = 0$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20 = 0$

चरण 1.2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

पदों को फिर से समूहित करें.

$- 3 x^{3} + 15 x + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

चरण 1.2.2.2

$- 3 x^{3} + 15 x$ में से $- 3 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1

$- 3 x^{3}$ में से $- 3 x$ का गुणनखंड करें.

$- 3 x \cdot x^{2} + 15 x + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

चरण 1.2.2.2.2

$15 x$ में से $- 3 x$ का गुणनखंड करें.

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 5 + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

चरण 1.2.2.2.3

$- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 5)$ में से $- 3 x$ का गुणनखंड करें.

$- 3 x (x^{2} - 5) + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

चरण 1.2.2.3

$x^{4}$ को ${(x^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 3 x (x^{2} - 5) + {(x^{2})}^{2} - 9 x^{2} + 20 = 0$

चरण 1.2.2.4

मान लीजिए $u = x^{2}$ . $x^{2}$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$- 3 x (x^{2} - 5) + u^{2} - 9 u + 20 = 0$

चरण 1.2.2.5

AC विधि का उपयोग करके $u^{2} - 9 u + 20$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.5.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $20$ है और जिसका योग $- 9$ है.

$- 5, - 4$

चरण 1.2.2.5.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$- 3 x (x^{2} - 5) + (u - 5) (u - 4) = 0$

चरण 1.2.2.6

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 4) = 0$

चरण 1.2.2.7

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

चरण 1.2.2.8

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.8.1

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 2$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

चरण 1.2.2.8.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2) = 0$

चरण 1.2.2.9

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2)$ में से $x^{2} - 5$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.9.1

$- 3 x (x^{2} - 5)$ में से $x^{2} - 5$ का गुणनखंड करें.

$(x^{2} - 5) (- 3 x) + (x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2) = 0$

चरण 1.2.2.9.2

$(x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2)$ में से $x^{2} - 5$ का गुणनखंड करें.

$(x^{2} - 5) (- 3 x) + (x^{2} - 5) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

चरण 1.2.2.9.3

$(x^{2} - 5) (- 3 x) + (x^{2} - 5) ((x + 2) (x - 2))$ में से $x^{2} - 5$ का गुणनखंड करें.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + (x + 2) (x - 2)) = 0$

चरण 1.2.2.10

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + 2) (x - 2)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.10.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x (x - 2) + 2 (x - 2)) = 0$

चरण 1.2.2.10.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = 0$

चरण 1.2.2.10.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

चरण 1.2.2.11

$x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.11.1

गुणनखंडों को $x \cdot - 2$ और $2 x$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

चरण 1.2.2.11.2

$- 2 x$ और $2 x$ जोड़ें.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = 0$

चरण 1.2.2.11.3

$x \cdot x$ और $0$ जोड़ें.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + 2 \cdot - 2) = 0$

चरण 1.2.2.12

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.12.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x^{2} + 2 \cdot - 2) = 0$

चरण 1.2.2.12.2

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x^{2} - 4) = 0$

चरण 1.2.2.13

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$(x^{2} - 5) (x^{2} - 3 x - 4) = 0$

चरण 1.2.2.14

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.14.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - 3 x - 4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.14.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 4$ है और जिसका योग $- 3$ है.

$- 4, 1$

चरण 1.2.2.14.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(x^{2} - 5) ((x - 4) (x + 1)) = 0$

चरण 1.2.2.14.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(x^{2} - 5) (x - 4) (x + 1) = 0$

चरण 1.2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x^{2} - 5 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

चरण 1.2.4

$x^{2} - 5$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$x^{2} - 5$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} - 5 = 0$

चरण 1.2.4.2

$x$ के लिए $x^{2} - 5 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $5$ जोड़ें.

$x^{2} = 5$

चरण 1.2.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

चरण 1.2.4.2.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.3.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = \sqrt{5}$

चरण 1.2.4.2.3.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - \sqrt{5}$

चरण 1.2.4.2.3.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

चरण 1.2.5

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 4 = 0$

चरण 1.2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$x = 4$

चरण 1.2.6

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 1 = 0$

चरण 1.2.6.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x = - 1$

चरण 1.2.7

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x^{2} - 5) (x - 4) (x + 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}, 4, - 1$

चरण 1.3

x- अंत:खंड(अंत:खंडों) एक बिन्दु के रूप में.

x- अंत:खंड(अंत:खंडों): $(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0), (4, 0), (- 1, 0)$

चरण 2

y- अंत:खंड पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

y- अंत:खंड (ओं) को ज्ञात करने के लिए, $0$ में $x$ को प्रतिस्थापित करें और $y$ को हल करें.

$y = {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

चरण 2.2

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = 0^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

चरण 2.2.2

कोष्ठक हटा दें.

$y = 0^{4} - 3 \cdot 0^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

चरण 2.2.3

कोष्ठक हटा दें.

$y = 0^{4} - 3 \cdot 0^{3} - 9 \cdot 0^{2} + 15 (0) + 20$

चरण 2.2.4

कोष्ठक हटा दें.

$y = {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

चरण 2.2.5

${(0)}^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$y = 0 - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

चरण 2.2.5.1.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$y = 0 - 3 \cdot 0 - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

चरण 2.2.5.1.3

$- 3$ को $0$ से गुणा करें.

$y = 0 + 0 - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

चरण 2.2.5.1.4

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$y = 0 + 0 - 9 \cdot 0 + 15 (0) + 20$

चरण 2.2.5.1.5

$- 9$ को $0$ से गुणा करें.

$y = 0 + 0 + 0 + 15 (0) + 20$

चरण 2.2.5.1.6

$15$ को $0$ से गुणा करें.

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 20$

चरण 2.2.5.2

संख्याओं को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.2.1

$0$ और $0$ जोड़ें.

$y = 0 + 0 + 0 + 20$

चरण 2.2.5.2.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$y = 0 + 0 + 20$

चरण 2.2.5.2.3

$0$ और $0$ जोड़ें.

$y = 0 + 20$

चरण 2.2.5.2.4

$0$ और $20$ जोड़ें.

$y = 20$

चरण 2.3

y- अंत:खंड(अंत:खंडों) एक बिन्दु के रूप में.

y- अंत:खंड(अंत:खंडों): $(0, 20)$

चरण 3

प्रतिच्छेदनों को सूचीबद्ध करें.

x- अंत:खंड(अंत:खंडों): $(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0), (4, 0), (- 1, 0)$

y- अंत:खंड(अंत:खंडों): $(0, 20)$

चरण 4