प्री-कैलकुलस उदाहरण

$y = 3 \cos (2 x - π)$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 \cos (2 x - π)$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [\cos (2 x - π)]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [\cos (2 x - π)]$

चरण 1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 2 x - π$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x - π$ के रूप में सेट करें.

$3 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x - π])$

चरण 1.2.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$3 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x - π])$

चरण 1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x - π$ से बदलें.

$3 (- \sin (2 x - π) \frac{d}{d x} [2 x - π])$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$- 3 (\sin (2 x - π) \frac{d}{d x} [2 x - π])$

चरण 1.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x - π$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ है.

$- 3 \sin (2 x - π) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π])$

चरण 1.3.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 3 \sin (2 x - π) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π])$

चरण 1.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 3 \sin (2 x - π) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π])$

चरण 1.3.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$- 3 \sin (2 x - π) (2 + \frac{d}{d x} [- π])$

चरण 1.3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $- π$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- π$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 3 \sin (2 x - π) (2 + 0)$

चरण 1.3.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.7.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$- 3 \sin (2 x - π) \cdot 2$

चरण 1.3.7.2

$2$ को $- 3$ से गुणा करें.

$- 6 \sin (2 x - π)$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $- 6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 6 \sin (2 x - π)$ का व्युत्पन्न $- 6 \frac{d}{d x} [\sin (2 x - π)]$ है.

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} \sin (2 x - π)$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 2 x - π$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x - π$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = - 6 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x - π))$

चरण 2.2.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$f'' (x) = - 6 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x - π))$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x - π$ से बदलें.

$f'' (x) = - 6 (\cos (2 x - π) \frac{d}{d x} (2 x - π))$

चरण 2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x - π$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ है.

$f'' (x) = - 6 \cos (2 x - π) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- π))$

चरण 2.3.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = - 6 \cos (2 x - π) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- π))$

चरण 2.3.3

$f'' (x) = - 6 \cos (2 x - π) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- π))$

चरण 2.3.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 6 \cos (2 x - π) (2 + \frac{d}{d x} (- π))$

चरण 2.3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- π$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- π$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = - 6 \cos (2 x - π) (2 + 0)$

चरण 2.3.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = - 6 \cos (2 x - π) \cdot 2$

चरण 2.3.6.2

$2$ को $- 6$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 12 \cos (2 x - π)$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$- 6 \sin (2 x - π) = 0$

चरण 4

$- 6 \sin (2 x - π) = 0$ के प्रत्येक पद को $- 6$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$- 6 \sin (2 x - π) = 0$ के प्रत्येक पद को $- 6$ से विभाजित करें.

$\frac{- 6 \sin (2 x - π)}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

चरण 4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$- 6$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 6 \sin (2 x - π)}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

चरण 4.2.1.2

$\sin (2 x - π)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\sin (2 x - π) = \frac{0}{- 6}$

चरण 4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$0$ को $- 6$ से विभाजित करें.

$\sin (2 x - π) = 0$

चरण 5

ज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.

$2 x - π = \arcsin (0)$

चरण 6

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\arcsin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$2 x - π = 0$

चरण 7

समीकरण के दोनों पक्षों में $π$ जोड़ें.

$2 x = π$

चरण 8

$2 x = π$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$2 x = π$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

चरण 8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

चरण 8.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{π}{2}$

चरण 9

पहले और दूसरे चतुर्थांश में ज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, दूसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$2 x - π = π - 0$

चरण 10

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$π$ में से $0$ घटाएं.

$2 x - π = π$

चरण 10.2

$x$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $π$ जोड़ें.

$2 x = π + π$

चरण 10.2.2

$π$ और $π$ जोड़ें.

$2 x = 2 π$

चरण 10.3

$2 x = 2 π$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.1

$2 x = 2 π$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

चरण 10.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

चरण 10.3.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{2 π}{2}$

चरण 10.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.3.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \frac{2 π}{2}$

चरण 10.3.3.1.2

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = π$

चरण 11

समीकरण का हल $2 x - π = 0$ .

$x = \frac{π}{2}, π$

चरण 12

$x = \frac{π}{2}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- 12 \cos (2 (\frac{π}{2}) - π)$

चरण 13

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- 12 \cos (2 \frac{π}{2} - π)$

चरण 13.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 12 \cos (π - π)$

चरण 13.2

$π$ में से $π$ घटाएं.

$- 12 \cos (0)$

चरण 13.3

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$- 12 \cdot 1$

चरण 13.4

$- 12$ को $1$ से गुणा करें.

$- 12$

चरण 14

$x = \frac{π}{2}$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = \frac{π}{2}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 15

$x = \frac{π}{2}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{π}{2}$ से बदलें.

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cos (2 (\frac{π}{2}) - π)$

चरण 15.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cos (2 (\frac{π}{2}) - π)$

चरण 15.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cos (π - π)$

चरण 15.2.2

$π$ में से $π$ घटाएं.

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cos (0)$

चरण 15.2.3

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cdot 1$

चरण 15.2.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$f (\frac{π}{2}) = 3$

चरण 15.2.5

अंतिम उत्तर $3$ है.

$y = 3$

चरण 16

$x = π$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- 12 \cos (2 (π) - π)$

चरण 17

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

$2 π$ में से $π$ घटाएं.

$- 12 \cos (π)$

चरण 17.2

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$- 12 (- \cos (0))$

चरण 17.3

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$- 12 (- 1 \cdot 1)$

चरण 17.4

$- 12 (- 1 \cdot 1)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.4.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 12 \cdot - 1$

चरण 17.4.2

$- 12$ को $- 1$ से गुणा करें.

$12$

चरण 18

$x = π$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = π$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 19

$x = π$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.1

व्यंजक में चर $x$ को $π$ से बदलें.

$f (π) = 3 \cos (2 (π) - π)$

चरण 19.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.2.1

$2 π$ में से $π$ घटाएं.

$f (π) = 3 \cos (π)$

चरण 19.2.2

$f (π) = 3 (- \cos (0))$

चरण 19.2.3

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$f (π) = 3 (- 1 \cdot 1)$

चरण 19.2.4

$3 (- 1 \cdot 1)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.2.4.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f (π) = 3 \cdot - 1$

चरण 19.2.4.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (π) = - 3$

चरण 19.2.5

अंतिम उत्तर $- 3$ है.

$y = - 3$

चरण 20

ये $f (x) = 3 \cos (2 x - π)$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(\frac{π}{2}, 3)$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

$(π, - 3)$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

चरण 21