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प्री-कैलकुलस उदाहरण
चरण 1
चरण 1.1
चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ और है.
चरण 1.1.1
चेन रूल लागू करने के लिए, को के रूप में सेट करें.
चरण 1.1.2
के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 1.1.3
की सभी घटनाओं को से बदलें.
चरण 1.2
अवकलन करें.
चरण 1.2.1
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 1.2.2
को से गुणा करें.
चरण 1.2.3
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 1.2.4
को से गुणा करें.
चरण 2
चरण 2.1
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 2.2
चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ और है.
चरण 2.2.1
चेन रूल लागू करने के लिए, को के रूप में सेट करें.
चरण 2.2.2
के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 2.2.3
की सभी घटनाओं को से बदलें.
चरण 2.3
अवकलन करें.
चरण 2.3.1
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 2.3.2
को से गुणा करें.
चरण 2.3.3
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 2.3.4
को से गुणा करें.
चरण 3
फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को के बराबर सेट करें और हल करें.
चरण 4
चरण 4.1
के प्रत्येक पद को से विभाजित करें.
चरण 4.2
बाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 4.2.1
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 4.2.1.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 4.2.1.2
को से विभाजित करें.
चरण 4.3
दाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 4.3.1
को से विभाजित करें.
चरण 5
ज्या के अंदर से निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.
चरण 6
चरण 6.1
का सटीक मान है.
चरण 7
चरण 7.1
के प्रत्येक पद को से विभाजित करें.
चरण 7.2
बाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 7.2.1
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 7.2.1.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 7.2.1.2
को से विभाजित करें.
चरण 7.3
दाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 7.3.1
को से विभाजित करें.
चरण 8
पहले और दूसरे चतुर्थांश में ज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, दूसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को से घटाएं.
चरण 9
चरण 9.1
सरल करें.
चरण 9.1.1
को से गुणा करें.
चरण 9.1.2
और जोड़ें.
चरण 9.2
के प्रत्येक पद को से भाग दें और सरल करें.
चरण 9.2.1
के प्रत्येक पद को से विभाजित करें.
चरण 9.2.2
बाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 9.2.2.1
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 9.2.2.1.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 9.2.2.1.2
को से विभाजित करें.
चरण 10
समीकरण का हल .
चरण 11
पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.
चरण 12
चरण 12.1
को से गुणा करें.
चरण 12.2
का सटीक मान है.
चरण 12.3
को से गुणा करें.
चरण 13
एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.
एक स्थानीय अधिकतम है.
चरण 14
चरण 14.1
व्यंजक में चर को से बदलें.
चरण 14.2
परिणाम को सरल बनाएंं.
चरण 14.2.1
को से गुणा करें.
चरण 14.2.2
का सटीक मान है.
चरण 14.2.3
अंतिम उत्तर है.
चरण 15
पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.
चरण 16
चरण 16.1
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 16.1.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 16.1.2
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 16.2
पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.
चरण 16.3
का सटीक मान है.
चरण 16.4
गुणा करें.
चरण 16.4.1
को से गुणा करें.
चरण 16.4.2
को से गुणा करें.
चरण 17
एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.
एक स्थानीय न्यूनतम है.
चरण 18
चरण 18.1
व्यंजक में चर को से बदलें.
चरण 18.2
परिणाम को सरल बनाएंं.
चरण 18.2.1
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 18.2.1.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 18.2.1.2
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 18.2.2
पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.
चरण 18.2.3
का सटीक मान है.
चरण 18.2.4
को से गुणा करें.
चरण 18.2.5
अंतिम उत्तर है.
चरण 19
ये के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.
एक स्थानीय उच्चत्तम है
एक स्थानीय निम्नत्तम है
चरण 20