प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 2 x \sqrt{x - 4}$

चरण 1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\sqrt{x - 4}$ को ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [2 x {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ है.

$2 (x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}] + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = x - 4$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - 4$ के रूप में सेट करें.

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$2 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 4$ से बदलें.

$2 (x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$2 (x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$2 (x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 (x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$2 (x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 7.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$2 (x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 8

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$2 (x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 8.2

$\frac{1}{2}$ और ${(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$2 (x (\frac{{(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 8.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$2 (x (\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 8.4

$\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ और $x$ को मिलाएं.

$2 (\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 4] + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 9

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ है.

$2 (\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 10

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 (\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 11

चूंकि $x$ के संबंध में $- 4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 (\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 12

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$2 (\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 12.2

$\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ को $1$ से गुणा करें.

$2 (\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 13

$2 (\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

चरण 14

${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$2 (\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 15

${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$2 (\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}})$

चरण 16

${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ और $\frac{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$2 (\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}})$

चरण 17

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 \frac{x + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 18

घातांक जोड़कर ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ को ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$2 \frac{x + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 18.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 \frac{x + {(x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 18.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 \frac{x + {(x - 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 18.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$2 \frac{x + {(x - 4)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 18.5

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$2 \frac{x + {(x - 4)}^{1} \cdot 2}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.1

${(x - 4)}^{1} \cdot 2$ को सरल करें.

$2 \frac{x + (x - 4) \cdot 2}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19.2

$2$ को $x - 4$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \frac{x + 2 \cdot (x - 4)}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 20

$2$ और $\frac{x + 2 (x - 4)}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{2 (x + 2 (x - 4))}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 21

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (x + 2 (x - 4))}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 22

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x + 2 (x - 4)}{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 23

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 23.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x + 2 x + 2 \cdot - 4}{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 23.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 23.2.1

$2$ को $- 4$ से गुणा करें.

$\frac{x + 2 x - 8}{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 23.2.2

$x$ और $2 x$ जोड़ें.

$\frac{3 x - 8}{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$