प्री-कैलकुलस उदाहरण

$11 x^{3} + 17 x^{2} - 21 x + 5 = 0$

चरण 1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $11 x^{3} + 17 x^{2} - 21 x + 5$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 11$

चरण 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 0.\overline{09}, \pm 5, \pm 0.\overline{45}$

चरण 1.3

$0.\overline{45}$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $0.\overline{45}$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$0.\overline{45}$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$11 \cdot {0.\overline{45}}^{3} + 17 \cdot {0.\overline{45}}^{2} - 21 \cdot 0.\overline{45} + 5$

चरण 1.3.2

$0.\overline{45}$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$11 \cdot 0.09391435 + 17 \cdot {0.\overline{45}}^{2} - 21 \cdot 0.\overline{45} + 5$

चरण 1.3.3

$11$ को $0.09391435$ से गुणा करें.

$1.03305785 + 17 \cdot {0.\overline{45}}^{2} - 21 \cdot 0.\overline{45} + 5$

चरण 1.3.4

$0.\overline{45}$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$1.03305785 + 17 \cdot 0.20661157 - 21 \cdot 0.\overline{45} + 5$

चरण 1.3.5

$17$ को $0.20661157$ से गुणा करें.

$1.03305785 + 3.51239669 - 21 \cdot 0.\overline{45} + 5$

चरण 1.3.6

$1.03305785$ और $3.51239669$ जोड़ें.

$4.54545454 - 21 \cdot 0.\overline{45} + 5$

चरण 1.3.7

$- 21$ को $0.\overline{45}$ से गुणा करें.

$4.54545454 - 9.\overline{54} + 5$

चरण 1.3.8

$4.54545454$ में से $9.\overline{54}$ घटाएं.

$- 5 + 5$

चरण 1.3.9

$- 5$ और $5$ जोड़ें.

$0$

चरण 1.4

चूँकि $0.\overline{45}$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $11 x - 5$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{11 x^{3} + 17 x^{2} - 21 x + 5}{11 x - 5}$

चरण 1.5

$11 x^{3} + 17 x^{2} - 21 x + 5$ को $11 x - 5$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$11 x$

$5$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$5$

चरण 1.5.2

भाज्य $11 x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $11 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$

चरण 1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			+	$11 x^{3}$	-	$5 x^{2}$

चरण 1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $11 x^{3} - 5 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$

चरण 1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$

चरण 1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$

चरण 1.5.7

भाज्य $22 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $11 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$

चरण 1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					+	$22 x^{2}$	-	$10 x$

चरण 1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $22 x^{2} - 10 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	+	$2 x$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$10 x$

चरण 1.5.10

				$x^{2}$	+	$2 x$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$11 x$

चरण 1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$11 x$	+	$5$

चरण 1.5.12

भाज्य $- 11 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $11 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$11 x$	+	$5$

चरण 1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$11 x$	+	$5$
							-	$11 x$	+	$5$

चरण 1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 11 x + 5$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$11 x$	+	$5$
							+	$11 x$	-	$5$

चरण 1.5.15

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$11 x$	+	$5$
							+	$11 x$	-	$5$
										$0$

चरण 1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} + 2 x - 1$

चरण 1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $11 x^{3} + 17 x^{2} - 21 x + 5$ लिखें.

$(11 x - 5) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$

चरण 2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$11 x - 5 = 0$

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

चरण 3

$11 x - 5$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$11 x - 5$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$11 x - 5 = 0$

चरण 3.2

$x$ के लिए $11 x - 5 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $5$ जोड़ें.

$11 x = 5$

चरण 3.2.2

$11 x = 5$ के प्रत्येक पद को $11$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$11 x = 5$ के प्रत्येक पद को $11$ से विभाजित करें.

$\frac{11 x}{11} = \frac{5}{11}$

चरण 3.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.2.1

$11$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{11 x}{11} = \frac{5}{11}$

चरण 3.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{5}{11}$

चरण 4

$x^{2} + 2 x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x^{2} + 2 x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

चरण 4.2

$x$ के लिए $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 4.2.2

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = 2$ और $c = - 1$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.3.1.2.2

$- 4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.3.1.3

$4$ और $4$ जोड़ें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.3.1.4

$8$ को $2^{2} \cdot 2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1.4.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.3.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.3.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.3.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

चरण 4.2.3.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ को सरल करें.

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

चरण 4.2.4

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.4.1.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.4.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.4.1.2.2

$- 4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.4.1.3

$4$ और $4$ जोड़ें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.4.1.4

$8$ को $2^{2} \cdot 2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.4.1.4.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.4.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.4.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.4.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

चरण 4.2.4.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ को सरल करें.

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

चरण 4.2.4.4

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$x = - 1 + \sqrt{2}$

चरण 4.2.5

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.5.1.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.5.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.5.1.2.2

$- 4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.5.1.3

$4$ और $4$ जोड़ें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.5.1.4

$8$ को $2^{2} \cdot 2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.5.1.4.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.5.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.5.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.5.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

चरण 4.2.5.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ को सरल करें.

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

चरण 4.2.5.4

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$x = - 1 - \sqrt{2}$

चरण 4.2.6

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

चरण 5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(11 x - 5) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \frac{5}{11}, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

चरण 6

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$x = \frac{5}{11}, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

दशमलव रूप:

$x = 0.\overline{45}, 0.41421356 \dots, - 2.41421356 \dots$