प्री-कैलकुलस उदाहरण

$1 + \sin (θ) = 2 \cos^{2} (θ)$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 \cos^{2} (θ)$ घटाएं.

$1 + \sin (θ) - 2 \cos^{2} (θ) = 0$

चरण 2

$- 2 \cos^{2} (θ)$ को $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ पहचान के आधार पर $- 2 (1 - \sin^{2} (θ))$ से बदलें.

$1 + \sin (θ) - 2 (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

चरण 3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 + \sin (θ) - 2 \cdot 1 - 2 (- \sin^{2} (θ)) = 0$

चरण 3.2

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$1 + \sin (θ) - 2 - 2 (- \sin^{2} (θ)) = 0$

चरण 3.3

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$1 + \sin (θ) - 2 + 2 \sin^{2} (θ) = 0$

चरण 4

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\sin (θ) - 1 + 2 \sin^{2} (θ) = 0$

चरण 5

बहुपद को पुन: व्यवस्थित करें.

$2 \sin^{2} (θ) + \sin (θ) - 1 = 0$

चरण 6

$u$ को $\sin (θ)$ से प्रतिस्थापित करें.

$2 {(u)}^{2} + u - 1 = 0$

चरण 7

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ है और जिसका योग $b = 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$1$ से गुणा करें.

$2 u^{2} + 1 u - 1 = 0$

चरण 7.1.2

$1$ को $- 1$ जोड़ $2$ के रूप में फिर से लिखें

$2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1 = 0$

चरण 7.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

चरण 7.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

चरण 7.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1) = 0$

चरण 7.3

महत्तम समापवर्तक, $2 u - 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(2 u - 1) (u + 1) = 0$

चरण 8

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

चरण 9

$2 u - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$2 u - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 u - 1 = 0$

चरण 9.2

$u$ के लिए $2 u - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$2 u = 1$

चरण 9.2.2

$2 u = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.1

$2 u = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 9.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 9.2.2.2.1.2

$u$ को $1$ से विभाजित करें.

$u = \frac{1}{2}$

चरण 10

$u + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$u + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$u + 1 = 0$

चरण 10.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$u = - 1$

चरण 11

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(2 u - 1) (u + 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

चरण 12

$\sin (θ)$ को $u$ से प्रतिस्थापित करें.

$\sin (θ) = \frac{1}{2}, - 1$

चरण 13

$θ$ को हल करने के लिए प्रत्येक हल सेट करें.

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

$\sin (θ) = - 1$

चरण 14

$θ$ के लिए $\sin (θ) = \frac{1}{2}$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

ज्या के अंदर से $θ$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

चरण 14.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ का सटीक मान $\frac{π}{6}$ है.

$θ = \frac{π}{6}$

चरण 14.3

पहले और दूसरे चतुर्थांश में ज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, दूसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$θ = π - \frac{π}{6}$

चरण 14.4

$π - \frac{π}{6}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.4.1

$π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{6}{6}$ से गुणा करें.

$θ = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

चरण 14.4.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.4.2.1

$π$ और $\frac{6}{6}$ को मिलाएं.

$θ = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

चरण 14.4.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$θ = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

चरण 14.4.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.4.3.1

$6$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$θ = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

चरण 14.4.3.2

$6 π$ में से $π$ घटाएं.

$θ = \frac{5 π}{6}$

चरण 14.5

$\sin (θ)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 14.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 14.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 14.5.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 14.6

$\sin (θ)$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 15

$θ$ के लिए $\sin (θ) = - 1$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$θ = \arcsin (- 1)$

चरण 15.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1

$\arcsin (- 1)$ का सटीक मान $- \frac{π}{2}$ है.

$θ = - \frac{π}{2}$

चरण 15.3

तीसरे और चौथे चतुर्थांश में ज्या फलन ऋणात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, संदर्भ कोण पता करने के लिए हल को $2 π$ से घटाएं. इसके बाद, तीसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए इस संदर्भ कोण को $π$ में जोड़ें.

$θ = 2 π + \frac{π}{2} + π$

चरण 15.4

दूसरा हल निकालने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.4.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ में से $2 π$ घटाएं.

$θ = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

चरण 15.4.2

$\frac{3 π}{2}$ का परिणामी कोण धनात्मक है, $2 π$ से कम है और $2 π + \frac{π}{2} + π$ के साथ कोटरमिनल है.

$θ = \frac{3 π}{2}$

चरण 15.5

$\sin (θ)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 15.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 15.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 15.5.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 15.6

धनात्मक कोण प्राप्त करने के लिए प्रत्येक ऋणात्मक कोण में $2 π$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.6.1

धनात्मक कोण ज्ञात करने के लिए $2 π$ को $- \frac{π}{2}$ में जोड़ें.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

चरण 15.6.2

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 15.6.3

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.6.3.1

$2 π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 15.6.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

चरण 15.6.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.6.4.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{4 π - π}{2}$

चरण 15.6.4.2

$4 π$ में से $π$ घटाएं.

$\frac{3 π}{2}$

चरण 15.6.5

नए कोणों की सूची बनाएंं.

$θ = \frac{3 π}{2}$

चरण 15.7

$θ = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 16

सभी हलों की सूची बनाएंं.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 17

उत्तरों को समेकित करें.

$θ = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए