प्री-कैलकुलस उदाहरण

$6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5 > 0$

चरण 1

असमानता को समीकरण में बदलें.

$6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5 = 0$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

चरण 2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{3}, \pm 5, \pm 0.8\overline{3}, \pm 2.5, \pm 1.\overline{6}$

चरण 2.1.3

$0.5$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $0.5$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

$0.5$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$6 \cdot {0.5}^{3} + 25 \cdot {0.5}^{2} - 24 \cdot 0.5 + 5$

चरण 2.1.3.2

$0.5$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$6 \cdot 0.125 + 25 \cdot {0.5}^{2} - 24 \cdot 0.5 + 5$

चरण 2.1.3.3

$6$ को $0.125$ से गुणा करें.

$0.75 + 25 \cdot {0.5}^{2} - 24 \cdot 0.5 + 5$

चरण 2.1.3.4

$0.5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$0.75 + 25 \cdot 0.25 - 24 \cdot 0.5 + 5$

चरण 2.1.3.5

$25$ को $0.25$ से गुणा करें.

$0.75 + 6.25 - 24 \cdot 0.5 + 5$

चरण 2.1.3.6

$0.75$ और $6.25$ जोड़ें.

$7 - 24 \cdot 0.5 + 5$

चरण 2.1.3.7

$- 24$ को $0.5$ से गुणा करें.

$7 - 12 + 5$

चरण 2.1.3.8

$7$ में से $12$ घटाएं.

$- 5 + 5$

चरण 2.1.3.9

$- 5$ और $5$ जोड़ें.

$0$

चरण 2.1.4

चूँकि $0.5$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $2 x - 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5}{2 x - 1}$

चरण 2.1.5

$6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$ को $2 x - 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$2 x$

$1$

$6 x^{3}$

$25 x^{2}$

$24 x$

$5$

चरण 2.1.5.2

भाज्य $6 x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $2 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$3 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$

चरण 2.1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			+	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

चरण 2.1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $6 x^{3} - 3 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

चरण 2.1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$

चरण 2.1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$

चरण 2.1.5.7

भाज्य $28 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $2 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$

चरण 2.1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					+	$28 x^{2}$	-	$14 x$

चरण 2.1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $28 x^{2} - 14 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$

चरण 2.1.5.10

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$

चरण 2.1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$

चरण 2.1.5.12

भाज्य $- 10 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $2 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$

चरण 2.1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$
							-	$10 x$	+	$5$

चरण 2.1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 10 x + 5$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$
							+	$10 x$	-	$5$

चरण 2.1.5.15

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$
							+	$10 x$	-	$5$
										$0$

चरण 2.1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$3 x^{2} + 14 x - 5$

चरण 2.1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$ लिखें.

$(2 x - 1) (3 x^{2} + 14 x - 5) = 0$

चरण 2.2

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ है और जिसका योग $b = 14$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.1

$14 x$ में से $14$ का गुणनखंड करें.

$(2 x - 1) (3 x^{2} + 14 (x) - 5) = 0$

चरण 2.2.1.1.2

$14$ को $- 1$ जोड़ $15$ के रूप में फिर से लिखें

$(2 x - 1) (3 x^{2} + (- 1 + 15) x - 5) = 0$

चरण 2.2.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(2 x - 1) (3 x^{2} - 1 x + 15 x - 5) = 0$

चरण 2.2.1.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$(2 x - 1) ((3 x^{2} - 1 x) + 15 x - 5) = 0$

चरण 2.2.1.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$(2 x - 1) (x (3 x - 1) + 5 (3 x - 1)) = 0$

चरण 2.2.1.3

महत्तम समापवर्तक, $3 x - 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(2 x - 1) ((3 x - 1) (x + 5)) = 0$

चरण 2.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(2 x - 1) (3 x - 1) (x + 5) = 0$

चरण 3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$2 x - 1 = 0$

$3 x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

चरण 4

$2 x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$2 x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 x - 1 = 0$

चरण 4.2

$x$ के लिए $2 x - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$2 x = 1$

चरण 4.2.2

$2 x = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$2 x = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 4.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 4.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{1}{2}$

चरण 5

$3 x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$3 x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$3 x - 1 = 0$

चरण 5.2

$x$ के लिए $3 x - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$3 x = 1$

चरण 5.2.2

$3 x = 1$ के प्रत्येक पद को $3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$3 x = 1$ के प्रत्येक पद को $3$ से विभाजित करें.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

चरण 5.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

चरण 5.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{1}{3}$

चरण 6

$x + 5$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x + 5$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 5 = 0$

चरण 6.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $5$ घटाएं.

$x = - 5$

चरण 7

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(2 x - 1) (3 x - 1) (x + 5) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, - 5$

चरण 8

परीक्षण अंतराल बनाने के लिए प्रत्येक मूल का प्रयोग करें.

$x < - 5$

$- 5 < x < \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

चरण 9

प्रत्येक अंतराल से एक परीक्षण मान चुनें और यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से अंतराल असमानता को संतुष्ट करते हैं, इस मान को मूल असमानता में प्लग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

अंतराल $x < - 5$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

अंतराल $x < - 5$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = - 8$

चरण 9.1.2

मूल असमानता में $x$ को $- 8$ से बदलें.

$6 {(- 8)}^{3} + 25 {(- 8)}^{2} - 24 \cdot - 8 + 5 > 0$

चरण 9.1.3

बाईं ओर $- 1275$ दाईं ओर $0$ से बड़ा नहीं है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

असत्य

चरण 9.2

अंतराल $- 5 < x < \frac{1}{3}$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

अंतराल $- 5 < x < \frac{1}{3}$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 0$

चरण 9.2.2

मूल असमानता में $x$ को $0$ से बदलें.

$6 {(0)}^{3} + 25 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 5 > 0$

चरण 9.2.3

बाईं ओर $5$ दाईं ओर $0$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

सत्य

चरण 9.3

अंतराल $\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

अंतराल $\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 0.42$

चरण 9.3.2

मूल असमानता में $x$ को $0.42$ से बदलें.

$6 {(0.42)}^{3} + 25 {(0.42)}^{2} - 24 \cdot 0.42 + 5 > 0$

चरण 9.3.3

बाईं ओर $- 0.225472$ दाईं ओर $0$ से बड़ा नहीं है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

असत्य

चरण 9.4

अंतराल $x > \frac{1}{2}$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.4.1

अंतराल $x > \frac{1}{2}$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 3$

चरण 9.4.2

मूल असमानता में $x$ को $3$ से बदलें.

$6 {(3)}^{3} + 25 {(3)}^{2} - 24 \cdot 3 + 5 > 0$

चरण 9.4.3

बाईं ओर $320$ दाईं ओर $0$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

सत्य

चरण 9.5

यह निर्धारित करने के लिए अंतराल की तुलना करें कि कौन से तत्व मूल असमानता को संतुष्ट करते हैं.

$x < - 5$ गलत

$- 5 < x < \frac{1}{3}$ सही

$\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$ गलत

$x > \frac{1}{2}$ सही

$x < - 5$ गलत

$- 5 < x < \frac{1}{3}$ सही

$\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$ गलत

$x > \frac{1}{2}$ सही

चरण 10

हल में सभी सच्चे अंतराल होते हैं.

$- 5 < x < \frac{1}{3}$ या $x > \frac{1}{2}$

चरण 11

असमानता को अंतराल संकेतन में बदलें.

$(- 5, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

चरण 12