प्री-कैलकुलस उदाहरण

$\frac{x}{x^{2} + 2 x - 6} \leq 0$

चरण 1

प्रत्येक गुणनखंड को $0$ के बराबर रखकर और उसे हल करके ऐसे सभी मान पता करें जहाँ व्यंजक नकारात्मक से सकारात्मक में परिवर्तित होता है.

$x = 0$

$x^{2} + 2 x - 6 = 0$

चरण 2

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 3

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = 2$ और $c = - 6$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.1.2.2

$- 4$ को $- 6$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.1.3

$4$ और $24$ जोड़ें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.1.4

$28$ को $2^{2} \cdot 7$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.1

$28$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

चरण 4.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ को सरल करें.

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

चरण 5

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

चरण 5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

चरण 5.1.2.2

$- 4$ को $- 6$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

चरण 5.1.3

$4$ और $24$ जोड़ें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

चरण 5.1.4

$28$ को $2^{2} \cdot 7$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.4.1

$28$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

चरण 5.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

चरण 5.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

चरण 5.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

चरण 5.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ को सरल करें.

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

चरण 5.4

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$x = - 1 + \sqrt{7}$

चरण 6

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

चरण 6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

चरण 6.1.2.2

$- 4$ को $- 6$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

चरण 6.1.3

$4$ और $24$ जोड़ें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

चरण 6.1.4

$28$ को $2^{2} \cdot 7$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.4.1

$28$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

चरण 6.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

चरण 6.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

चरण 6.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

चरण 6.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ को सरल करें.

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

चरण 6.4

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$x = - 1 - \sqrt{7}$

चरण 7

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = - 1 + \sqrt{7}, - 1 - \sqrt{7}$

चरण 8

प्रत्येक गुणनखंड के लिए उन मानों को प्राप्त करने के लिए हल करें जहां निरपेक्ष मान व्यंजक ऋणात्मक से धनात्मक हो जाता है.

$x = 0$

$x = - 1 + \sqrt{7}, - 1 - \sqrt{7}$

चरण 9

हल समेकित करें.

$x = 0, - 1 + \sqrt{7}, - 1 - \sqrt{7}$

चरण 10

$\frac{x}{x^{2} + 2 x - 6}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{x}{x^{2} + 2 x - 6}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x^{2} + 2 x - 6 = 0$

चरण 10.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 10.2.2

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

चरण 10.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.1.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

चरण 10.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

चरण 10.2.3.1.2.2

$- 4$ को $- 6$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

चरण 10.2.3.1.3

$4$ और $24$ जोड़ें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

चरण 10.2.3.1.4

$28$ को $2^{2} \cdot 7$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.1.4.1

$28$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

चरण 10.2.3.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

चरण 10.2.3.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

चरण 10.2.3.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

चरण 10.2.3.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ को सरल करें.

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

चरण 10.2.4

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.4.1.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

चरण 10.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.4.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

चरण 10.2.4.1.2.2

$- 4$ को $- 6$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

चरण 10.2.4.1.3

$4$ और $24$ जोड़ें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

चरण 10.2.4.1.4

$28$ को $2^{2} \cdot 7$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.4.1.4.1

$28$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

चरण 10.2.4.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

चरण 10.2.4.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

चरण 10.2.4.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

चरण 10.2.4.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ को सरल करें.

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

चरण 10.2.4.4

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$x = - 1 + \sqrt{7}$

चरण 10.2.5

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.5.1.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

चरण 10.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.5.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

चरण 10.2.5.1.2.2

$- 4$ को $- 6$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

चरण 10.2.5.1.3

$4$ और $24$ जोड़ें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

चरण 10.2.5.1.4

$28$ को $2^{2} \cdot 7$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.5.1.4.1

$28$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

चरण 10.2.5.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

चरण 10.2.5.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

चरण 10.2.5.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

चरण 10.2.5.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ को सरल करें.

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

चरण 10.2.5.4

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$x = - 1 - \sqrt{7}$

चरण 10.2.6

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = - 1 + \sqrt{7}, - 1 - \sqrt{7}$

चरण 10.3

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

$(- \infty, - 1 - \sqrt{7}) \cup (- 1 - \sqrt{7}, - 1 + \sqrt{7}) \cup (- 1 + \sqrt{7}, \infty)$

चरण 11

परीक्षण अंतराल बनाने के लिए प्रत्येक मूल का प्रयोग करें.

$x < - 1 - \sqrt{7}$

$- 1 - \sqrt{7} < x < 0$

$0 < x < - 1 + \sqrt{7}$

$x > - 1 + \sqrt{7}$

चरण 12

प्रत्येक अंतराल से एक परीक्षण मान चुनें और यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से अंतराल असमानता को संतुष्ट करते हैं, इस मान को मूल असमानता में प्लग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

अंतराल $x < - 1 - \sqrt{7}$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

अंतराल $x < - 1 - \sqrt{7}$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = - 6$

चरण 12.1.2

मूल असमानता में $x$ को $- 6$ से बदलें.

$\frac{- 6}{{(- 6)}^{2} + 2 (- 6) - 6} \leq 0$

चरण 12.1.3

बाईं ओर $- 0.\overline{3}$ दाईं ओर $0$ से छोटा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

True

चरण 12.2

अंतराल $- 1 - \sqrt{7} < x < 0$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

अंतराल $- 1 - \sqrt{7} < x < 0$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = - 2$

चरण 12.2.2

मूल असमानता में $x$ को $- 2$ से बदलें.

$\frac{- 2}{{(- 2)}^{2} + 2 (- 2) - 6} \leq 0$

चरण 12.2.3

बाईं ओर $0.\overline{3}$ दाईं ओर $0$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

False

चरण 12.3

अंतराल $0 < x < - 1 + \sqrt{7}$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

अंतराल $0 < x < - 1 + \sqrt{7}$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 1$

चरण 12.3.2

मूल असमानता में $x$ को $1$ से बदलें.

$\frac{1}{{(1)}^{2} + 2 (1) - 6} \leq 0$

चरण 12.3.3

True

चरण 12.4

अंतराल $x > - 1 + \sqrt{7}$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.1

अंतराल $x > - 1 + \sqrt{7}$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 4$

चरण 12.4.2

मूल असमानता में $x$ को $4$ से बदलें.

$\frac{4}{{(4)}^{2} + 2 (4) - 6} \leq 0$

चरण 12.4.3

बाईं ओर $0.\overline{2}$ दाईं ओर $0$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

False

चरण 12.5

यह निर्धारित करने के लिए अंतराल की तुलना करें कि कौन से तत्व मूल असमानता को संतुष्ट करते हैं.

$x < - 1 - \sqrt{7}$ सही

$- 1 - \sqrt{7} < x < 0$ गलत

$0 < x < - 1 + \sqrt{7}$ सही

$x > - 1 + \sqrt{7}$ गलत

$x < - 1 - \sqrt{7}$ सही

$- 1 - \sqrt{7} < x < 0$ गलत

$0 < x < - 1 + \sqrt{7}$ सही

$x > - 1 + \sqrt{7}$ गलत

चरण 13

हल में सभी सच्चे अंतराल होते हैं.

$x < - 1 - \sqrt{7}$ या $0 \leq x < - 1 + \sqrt{7}$

चरण 14

असमानता को अंतराल संकेतन में बदलें.

$(- \infty, - 1 - \sqrt{7}) \cup [0, - 1 + \sqrt{7})$

चरण 15