प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{4} - 5 x^{3} + 8 x^{2} - 20 x + 16$

चरण 1

$x^{4} - 5 x^{3} + 8 x^{2} - 20 x + 16$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{4} - 5 x^{3} + 8 x^{2} - 20 x + 16 = 0$

चरण 2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

पदों को फिर से समूहित करें.

$- 5 x^{3} - 20 x + x^{4} + 8 x^{2} + 16 = 0$

चरण 2.1.2

$- 5 x^{3} - 20 x$ में से $- 5 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

$- 5 x^{3}$ में से $- 5 x$ का गुणनखंड करें.

$- 5 x \cdot x^{2} - 20 x + x^{4} + 8 x^{2} + 16 = 0$

चरण 2.1.2.2

$- 20 x$ में से $- 5 x$ का गुणनखंड करें.

$- 5 x \cdot x^{2} - 5 x \cdot 4 + x^{4} + 8 x^{2} + 16 = 0$

चरण 2.1.2.3

$- 5 x (x^{2}) - 5 x (4)$ में से $- 5 x$ का गुणनखंड करें.

$- 5 x (x^{2} + 4) + x^{4} + 8 x^{2} + 16 = 0$

चरण 2.1.3

$x^{4}$ को ${(x^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 5 x (x^{2} + 4) + {(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} + 16 = 0$

चरण 2.1.4

मान लीजिए $u = x^{2}$ . $x^{2}$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$- 5 x (x^{2} + 4) + u^{2} + 8 u + 16 = 0$

चरण 2.1.5

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.5.1

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 5 x (x^{2} + 4) + u^{2} + 8 u + 4^{2} = 0$

चरण 2.1.5.2

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

चरण 2.1.5.3

बहुपद को फिर से लिखें.

$- 5 x (x^{2} + 4) + u^{2} + 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2} = 0$

चरण 2.1.5.4

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = u$ और $b = 4$ है.

$- 5 x (x^{2} + 4) + {(u + 4)}^{2} = 0$

चरण 2.1.6

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$- 5 x (x^{2} + 4) + {(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

चरण 2.1.7

$- 5 x (x^{2} + 4) + {(x^{2} + 4)}^{2}$ में से $x^{2} + 4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.7.1

$- 5 x (x^{2} + 4)$ में से $x^{2} + 4$ का गुणनखंड करें.

$(x^{2} + 4) (- 5 x) + {(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

चरण 2.1.7.2

${(x^{2} + 4)}^{2}$ में से $x^{2} + 4$ का गुणनखंड करें.

$(x^{2} + 4) (- 5 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} + 4) = 0$

चरण 2.1.7.3

$(x^{2} + 4) (- 5 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} + 4)$ में से $x^{2} + 4$ का गुणनखंड करें.

$(x^{2} + 4) (- 5 x + x^{2} + 4) = 0$

चरण 2.1.8

मान लीजिए $u = x$ . $x$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$(x^{2} + 4) (- 5 u + u^{2} + 4) = 0$

चरण 2.1.9

AC विधि का उपयोग करके $- 5 u + u^{2} + 4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.9.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $4$ है और जिसका योग $- 5$ है.

$- 4, - 1$

चरण 2.1.9.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(x^{2} + 4) ((u - 4) (u - 1)) = 0$

चरण 2.1.10

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.10.1

$u$ की सभी घटनाओं को $x$ से बदलें.

$(x^{2} + 4) ((x - 4) (x - 1)) = 0$

चरण 2.1.10.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(x^{2} + 4) (x - 4) (x - 1) = 0$

चरण 2.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x^{2} + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 1 = 0$

चरण 2.3

$x^{2} + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$x^{2} + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} + 4 = 0$

चरण 2.3.2

$x$ के लिए $x^{2} + 4 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$x^{2} = - 4$

चरण 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

चरण 2.3.2.3

$\pm \sqrt{- 4}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.3.1

$- 4$ को $- 1 (4)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

चरण 2.3.2.3.2

$\sqrt{- 1 (4)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

चरण 2.3.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

चरण 2.3.2.3.4

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

चरण 2.3.2.3.5

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm i \cdot 2$

चरण 2.3.2.3.6

$2$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \pm 2 i$

चरण 2.3.2.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = 2 i$

चरण 2.3.2.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - 2 i$

चरण 2.3.2.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = 2 i, - 2 i$

चरण 2.4

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 4 = 0$

चरण 2.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$x = 4$

चरण 2.5

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 1 = 0$

चरण 2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x = 1$

चरण 2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x^{2} + 4) (x - 4) (x - 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 2 i, - 2 i, 4, 1$

चरण 3