प्री-कैलकुलस उदाहरण

$x = y^{2} - 4 y$

चरण 1

समीकरण को $y^{2} - 4 y = x$ के रूप में फिर से लिखें.

$y^{2} - 4 y = x$

चरण 2

समीकरण के दोनों पक्षों से $x$ घटाएं.

$y^{2} - 4 y - x = 0$

चरण 3

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 4

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = - 4$ और $c = - x$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $y$ के लिए हल करें.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ में से $- 4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.1

${(- 4)}^{2}$ में से $- 4$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

चरण 5.1.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ में से $- 4$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

चरण 5.1.1.3

$- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ में से $- 4$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

चरण 5.1.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

चरण 5.1.3

$- 4 (- 4 - x)$ को $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

चरण 5.1.3.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

चरण 5.1.3.3

कोष्ठक लगाएं.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

चरण 5.1.4

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

चरण 5.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

चरण 5.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ को सरल करें.

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

चरण 6

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ में से $- 4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.1

${(- 4)}^{2}$ में से $- 4$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

चरण 6.1.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ में से $- 4$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

चरण 6.1.1.3

$- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ में से $- 4$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

चरण 6.1.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

चरण 6.1.3

$- 4 (- 4 - x)$ को $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.1

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

चरण 6.1.3.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

चरण 6.1.3.3

कोष्ठक लगाएं.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

चरण 6.1.4

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

चरण 6.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

चरण 6.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ को सरल करें.

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

चरण 6.4

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

चरण 7

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ में से $- 4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1.1

${(- 4)}^{2}$ में से $- 4$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.1.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ में से $- 4$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.1.1.3

$- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ में से $- 4$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.1.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.1.3

$- 4 (- 4 - x)$ को $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.3.1

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.1.3.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.1.3.3

कोष्ठक लगाएं.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.1.4

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

चरण 7.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ को सरल करें.

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

चरण 7.4

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

चरण 8

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

चरण 9

चर को अदला-बदली करें. प्रत्येक व्यंजक के लिए एक समीकरण बनाएंँ.

$x = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)}, x = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - y)}$

चरण 10

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

समीकरण को $2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x$

चरण 10.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$\sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x - 2$

चरण 10.3

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें.

${\sqrt{- 1 (- 4 - y)}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

चरण 10.4

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.1

$\sqrt{- 1 (- 4 - y)}$ को ${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

चरण 10.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.2.1

${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.2.1.1

घातांक को ${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.2.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

चरण 10.4.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

चरण 10.4.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

${(- 1 (- 4 - y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

चरण 10.4.2.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

${(- 1 \cdot - 4 - 1 (- y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

चरण 10.4.2.1.3

$- 1$ को $- 4$ से गुणा करें.

${(4 - 1 (- y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

चरण 10.4.2.1.4

$- 1 (- y)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.2.1.4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

${(4 + 1 y)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

चरण 10.4.2.1.4.2

$y$ को $1$ से गुणा करें.

${(4 + y)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

चरण 10.4.2.1.5

सरल करें.

$4 + y = {(x - 2)}^{2}$

चरण 10.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.3.1

${(x - 2)}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.3.1.1

${(x - 2)}^{2}$ को $(x - 2) (x - 2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 + y = (x - 2) (x - 2)$

चरण 10.4.3.1.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(x - 2) (x - 2)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.3.1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 + y = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

चरण 10.4.3.1.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 + y = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

चरण 10.4.3.1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 + y = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

चरण 10.4.3.1.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.3.1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.3.1.3.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$4 + y = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

चरण 10.4.3.1.3.1.2

$- 2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 + y = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

चरण 10.4.3.1.3.1.3

$- 2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$4 + y = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

चरण 10.4.3.1.3.2

$- 2 x$ में से $2 x$ घटाएं.

$4 + y = x^{2} - 4 x + 4$

चरण 10.5

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$y = x^{2} - 4 x + 4 - 4$

चरण 10.5.2

$x^{2} - 4 x + 4 - 4$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.1

$4$ में से $4$ घटाएं.

$y = x^{2} - 4 x + 0$

चरण 10.5.2.2

$x^{2} - 4 x$ और $0$ जोड़ें.

$y = x^{2} - 4 x$

चरण 11

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$

चरण 12

सत्यापित करें कि क्या $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ , $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ का व्युत्क्रम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

व्युत्क्रम का डोमेन मूल फंक्शन का परास और इसके विपरीत है. $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ और $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ का डोमेन और परास ज्ञात करें और उनकी तुलना करें.

चरण 12.2

$f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ की सीमा ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

$2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ की सीमा ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1.1

श्रेणी सभी मान्य $y$ मानों का सेट है. परिसर पता करने के लिए ग्राफ का प्रयोग करें.

मध्यवर्ती संकेतन:

$[2, \infty)$

चरण 12.2.2

$2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ की सीमा ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.2.1

श्रेणी सभी मान्य $y$ मानों का सेट है. परिसर पता करने के लिए ग्राफ का प्रयोग करें.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, 2]$

चरण 12.2.3

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.3.1

संघ में वे सभी अवयव होते हैं जो प्रत्येक अंतराल में निहित होते हैं.

$(- \infty, \infty)$

चरण 12.3

$2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

रेडिकैंड को $\sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ में $0$ से बड़ा या उसके बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां परिभाषित किया गया है.

$- 1 (- 4 - x) \geq 0$

चरण 12.3.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.2.1

$- 1 (- 4 - x) \geq 0$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.2.1.1

$- 1 (- 4 - x) \geq 0$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें. असमानता के दोनों पक्षों को ऋणात्मक मान से गुणा या विभाजित करते समय, असमानता चिह्न की दिशा को पलटें.

$\frac{- 1 (- 4 - x)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

चरण 12.3.2.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.2.1.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{- 4 - x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

चरण 12.3.2.1.2.2

$- 4 - x$ को $1$ से विभाजित करें.

$- 4 - x \leq \frac{0}{- 1}$

चरण 12.3.2.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.2.1.3.1

$0$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$- 4 - x \leq 0$

चरण 12.3.2.2

असमानता के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$- x \leq 4$

चरण 12.3.2.3

$- x \leq 4$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.2.3.1

$- x \leq 4$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें. असमानता के दोनों पक्षों को ऋणात्मक मान से गुणा या विभाजित करते समय, असमानता चिह्न की दिशा को पलटें.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{4}{- 1}$

चरण 12.3.2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.2.3.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{x}{1} \geq \frac{4}{- 1}$

चरण 12.3.2.3.2.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x \geq \frac{4}{- 1}$

चरण 12.3.2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.2.3.3.1

$4$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$x \geq - 4$

चरण 12.3.3

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

$[- 4, \infty)$

चरण 12.4

चूँकि $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ का डोमेन $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ का परास है और $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ का डोमेन $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ का डोमेन है, तो $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ , $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ का व्युत्क्रम है.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$

चरण 13