प्री-कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{1}{2} \sin (2 x)$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{1}{2} \cdot \sin (2 x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ है.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

चरण 1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 1.2.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$\frac{1}{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$\cos (2 x)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\cos (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.3.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\cos (2 x)}{2} (2 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.3.3

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

$2$ और $\frac{\cos (2 x)}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.3.2.2

$\cos (2 x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\cos (2 x) \cdot 1$

चरण 1.3.5

$\cos (2 x)$ को $1$ से गुणा करें.

$\cos (2 x)$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

चरण 2.1.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$f'' (x) = - \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

चरण 2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$f'' (x) = - \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

चरण 2.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} x$

चरण 2.2.3

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x) \cdot 1$

चरण 2.2.4

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x)$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$\cos (2 x) = 0$

चरण 4

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$2 x = \arccos (0)$

चरण 5

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\arccos (0)$ का सटीक मान $\frac{π}{2}$ है.

$2 x = \frac{π}{2}$

चरण 6

$2 x = \frac{π}{2}$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$2 x = \frac{π}{2}$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

चरण 6.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

चरण 6.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

चरण 6.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 6.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

$\frac{π}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

चरण 6.3.2.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{π}{4}$

चरण 7

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

चरण 8

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 8.1.2

$2 π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 8.1.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

चरण 8.1.4

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

चरण 8.1.5

$4 π$ में से $π$ घटाएं.

$2 x = \frac{3 π}{2}$

चरण 8.2

$2 x = \frac{3 π}{2}$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$2 x = \frac{3 π}{2}$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

चरण 8.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

चरण 8.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

चरण 8.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 8.2.3.2

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.2.1

$\frac{3 π}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

चरण 8.2.3.2.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{3 π}{4}$

चरण 9

समीकरण का हल $2 x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

चरण 10

$x = \frac{π}{4}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- 2 \sin (2 (\frac{π}{4}))$

चरण 11

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- 2 \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

चरण 11.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- 2 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

चरण 11.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 2 \sin (\frac{π}{2})$

चरण 11.2

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$- 2 \cdot 1$

चरण 11.3

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2$

चरण 12

$x = \frac{π}{4}$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = \frac{π}{4}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 13

$x = \frac{π}{4}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{π}{4}$ से बदलें.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{π}{4}))$

चरण 13.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{π}{2 (2)}))$

चरण 13.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}))$

चरण 13.2.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2})$

चरण 13.2.2

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot 1$

चरण 13.2.3

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$

चरण 13.2.4

अंतिम उत्तर $\frac{1}{2}$ है.

$y = \frac{1}{2}$

चरण 14

$x = \frac{3 π}{4}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- 2 \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

चरण 15

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- 2 \sin (2 \frac{3 π}{2 (2)})$

चरण 15.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- 2 \sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 2})$

चरण 15.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

चरण 15.2

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि चौथे चतुर्थांश में ज्या ऋणात्मक है.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

चरण 15.3

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

चरण 15.4

$- 2 (- 1 \cdot 1)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.4.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2 \cdot - 1$

चरण 15.4.2

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 16

$x = \frac{3 π}{4}$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = \frac{3 π}{4}$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 17

$x = \frac{3 π}{4}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{3 π}{4}$ से बदलें.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

चरण 17.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.1.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{3 π}{2 (2)}))$

चरण 17.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}))$

चरण 17.2.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{3 π}{2})$

चरण 17.2.2

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (- \sin (\frac{π}{2}))$

चरण 17.2.3

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (- 1 \cdot 1)$

चरण 17.2.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot - 1$

चरण 17.2.5

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 1}{2}$

चरण 17.2.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{1}{2}$

चरण 17.2.7

अंतिम उत्तर $- \frac{1}{2}$ है.

$y = - \frac{1}{2}$

चरण 18

ये $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 x)$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(\frac{π}{4}, \frac{1}{2})$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

$(\frac{3 π}{4}, - \frac{1}{2})$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

चरण 19