प्री-कैलकुलस उदाहरण

$2 x^{4} - 5 x^{3} - 20 x^{2} + 115 x - 52$

चरण 1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 13, \pm 26, \pm 52$

$q = \pm 1, \pm 2$

चरण 2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 4, \pm 13, \pm \frac{13}{2}, \pm 26, \pm 52$

चरण 3

वास्तविक मूल ज्ञात करने के लिए बहुपद में संभावित मूलों को एक-एक करके प्रतिस्थापित करें. यह जांचने के लिए सरल करें कि क्या मान $0$ है, जिसका मतलब है कि यह एक मूल है.

$2 {(\frac{1}{2})}^{4} - 5 {(\frac{1}{2})}^{3} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

चरण 4

व्यंजक को सरल बनाएंं. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $x = \frac{1}{2}$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{1}{2}$ पर लागू करें.

$2 \frac{1^{4}}{2^{4}} - 5 {(\frac{1}{2})}^{3} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

चरण 4.1.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$2 \frac{1}{2^{4}} - 5 {(\frac{1}{2})}^{3} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

चरण 4.1.3

$2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 (\frac{1}{16}) - 5 {(\frac{1}{2})}^{3} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

चरण 4.1.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.1

$16$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 \frac{1}{2 (8)} - 5 {(\frac{1}{2})}^{3} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

चरण 4.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{1}{2 \cdot 8} - 5 {(\frac{1}{2})}^{3} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

चरण 4.1.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{8} - 5 {(\frac{1}{2})}^{3} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

चरण 4.1.5

उत्पाद नियम को $\frac{1}{2}$ पर लागू करें.

$\frac{1}{8} - 5 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

चरण 4.1.6

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{8} - 5 \frac{1}{2^{3}} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

चरण 4.1.7

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{8} - 5 (\frac{1}{8}) - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

चरण 4.1.8

$- 5$ और $\frac{1}{8}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{8} + \frac{- 5}{8} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

चरण 4.1.9

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

चरण 4.1.10

उत्पाद नियम को $\frac{1}{2}$ पर लागू करें.

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} - 20 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

चरण 4.1.11

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} - 20 \frac{1}{2^{2}} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

चरण 4.1.12

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} - 20 (\frac{1}{4}) + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

चरण 4.1.13

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.13.1

$- 20$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} + 4 (- 5) \frac{1}{4} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

चरण 4.1.13.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} + 4 \cdot - 5 \frac{1}{4} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

चरण 4.1.13.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} - 5 + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

चरण 4.1.14

$115$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} - 5 + \frac{115}{2} - 52$

चरण 4.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- 5 - 52 + \frac{1 - 5}{8} + \frac{115}{2}$

चरण 4.2.2

$1$ में से $5$ घटाएं.

$- 5 - 52 + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2}$

चरण 4.3

सामान्य भाजक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$- 5$ को भाजक $1$ वाली भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{- 5}{1} - 52 + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2}$

चरण 4.3.2

$\frac{- 5}{1}$ को $\frac{8}{8}$ से गुणा करें.

$\frac{- 5}{1} \cdot \frac{8}{8} - 52 + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2}$

चरण 4.3.3

$\frac{- 5}{1}$ को $\frac{8}{8}$ से गुणा करें.

$\frac{- 5 \cdot 8}{8} - 52 + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2}$

चरण 4.3.4

$- 52$ को भाजक $1$ वाली भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{- 5 \cdot 8}{8} + \frac{- 52}{1} + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2}$

चरण 4.3.5

$\frac{- 52}{1}$ को $\frac{8}{8}$ से गुणा करें.

$\frac{- 5 \cdot 8}{8} + \frac{- 52}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2}$

चरण 4.3.6

$\frac{- 52}{1}$ को $\frac{8}{8}$ से गुणा करें.

$\frac{- 5 \cdot 8}{8} + \frac{- 52 \cdot 8}{8} + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2}$

चरण 4.3.7

$\frac{115}{2}$ को $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{- 5 \cdot 8}{8} + \frac{- 52 \cdot 8}{8} + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2} \cdot \frac{4}{4}$

चरण 4.3.8

$\frac{115}{2}$ को $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{- 5 \cdot 8}{8} + \frac{- 52 \cdot 8}{8} + \frac{- 4}{8} + \frac{115 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

चरण 4.3.9

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{- 5 \cdot 8}{8} + \frac{- 52 \cdot 8}{8} + \frac{- 4}{8} + \frac{115 \cdot 4}{8}$

चरण 4.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 5 \cdot 8 - 52 \cdot 8 - 4 + 115 \cdot 4}{8}$

चरण 4.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$- 5$ को $8$ से गुणा करें.

$\frac{- 40 - 52 \cdot 8 - 4 + 115 \cdot 4}{8}$

चरण 4.5.2

$- 52$ को $8$ से गुणा करें.

$\frac{- 40 - 416 - 4 + 115 \cdot 4}{8}$

चरण 4.5.3

$115$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{- 40 - 416 - 4 + 460}{8}$

चरण 4.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

$- 40$ में से $416$ घटाएं.

$\frac{- 456 - 4 + 460}{8}$

चरण 4.6.2

$- 456$ में से $4$ घटाएं.

$\frac{- 460 + 460}{8}$

चरण 4.6.3

$- 460$ और $460$ जोड़ें.

$\frac{0}{8}$

चरण 4.6.4

$0$ को $8$ से विभाजित करें.

$0$

चरण 5

चूंकि $\frac{1}{2}$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x - \frac{1}{2}$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{2 x^{4} - 5 x^{3} - 20 x^{2} + 115 x - 52}{x - \frac{1}{2}}$

चरण 6

इसके बाद, शेष बहुपद के मूल ज्ञात कीजिए. बहुपद के क्रम को $1$ से कम कर दिया गया है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$

चरण 6.2

भाज्य $(2)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$

	$2$

चरण 6.3

परिणाम $(2)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(\frac{1}{2})$ से गुणा करें और $(1)$ के परिणाम को भाज्य $(- 5)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$
	$2$

चरण 6.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$
	$2$	$- 4$

चरण 6.5

परिणाम $(- 4)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(\frac{1}{2})$ से गुणा करें और $(- 2)$ के परिणाम को भाज्य $(- 20)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$	$- 2$
	$2$	$- 4$

चरण 6.6

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$	$- 2$
	$2$	$- 4$	$- 22$

चरण 6.7

परिणाम $(- 22)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(\frac{1}{2})$ से गुणा करें और $(- 11)$ के परिणाम को भाज्य $(115)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$	$- 2$	$- 11$
	$2$	$- 4$	$- 22$

चरण 6.8

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$	$- 2$	$- 11$
	$2$	$- 4$	$- 22$	$104$

चरण 6.9

परिणाम $(104)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(\frac{1}{2})$ से गुणा करें और $(52)$ के परिणाम को भाज्य $(- 52)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$	$- 2$	$- 11$	$52$
	$2$	$- 4$	$- 22$	$104$

चरण 6.10

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$	$- 2$	$- 11$	$52$
	$2$	$- 4$	$- 22$	$104$	$0$

चरण 6.11

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$2 x^{3} + - 4 x^{2} + (- 22) x + 104$

चरण 6.12

भागफल बहुपद को सरल करें.

$2 x^{3} - 4 x^{2} - 22 x + 104$

चरण 7

$2 x^{3} - 4 x^{2} - 22 x + 104$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$2 x^{3}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) - 4 x^{2} - 22 x + 104)$

चरण 7.2

$- 4 x^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (- 2 x^{2}) - 22 x + 104)$

चरण 7.3

$- 22 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- 11 x) + 104)$

चरण 7.4

$104$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$(x - \frac{1}{2}) (2 x^{3} + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- 11 x) + 2 \cdot 52)$

चरण 7.5

$2 x^{3} + 2 (- 2 x^{2})$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 2 x^{2}) + 2 (- 11 x) + 2 \cdot 52)$

चरण 7.6

$2 (x^{3} - 2 x^{2}) + 2 (- 11 x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 2 x^{2} - 11 x) + 2 \cdot 52)$

चरण 7.7

$2 (x^{3} - 2 x^{2} - 11 x) + 2 \cdot 52$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 2 x^{2} - 11 x + 52))$

चरण 8

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

पदों को फिर से समूहित करें.

$- 5 x^{3} - 20 x^{2} + 2 x^{4} + 115 x - 52 = 0$

चरण 8.2

$- 5 x^{3} - 20 x^{2}$ में से $- 5 x^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$- 5 x^{3}$ में से $- 5 x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$- 5 x^{2} x - 20 x^{2} + 2 x^{4} + 115 x - 52 = 0$

चरण 8.2.2

$- 20 x^{2}$ में से $- 5 x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$- 5 x^{2} x - 5 x^{2} \cdot 4 + 2 x^{4} + 115 x - 52 = 0$

चरण 8.2.3

$- 5 x^{2} (x) - 5 x^{2} (4)$ में से $- 5 x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$- 5 x^{2} (x + 4) + 2 x^{4} + 115 x - 52 = 0$

चरण 8.3

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $2 x^{4} + 115 x - 52$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$p = \pm 1, \pm 52, \pm 2, \pm 26, \pm 4, \pm 13$

$q = \pm 1, \pm 2$

चरण 8.3.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 52, \pm 26, \pm 2, \pm 13, \pm 4, \pm 6.5$

चरण 8.3.3

$- 4$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $- 4$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.3.1

$- 4$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$2 {(- 4)}^{4} + 115 \cdot - 4 - 52$

चरण 8.3.3.2

$- 4$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 \cdot 256 + 115 \cdot - 4 - 52$

चरण 8.3.3.3

$2$ को $256$ से गुणा करें.

$512 + 115 \cdot - 4 - 52$

चरण 8.3.3.4

$115$ को $- 4$ से गुणा करें.

$512 - 460 - 52$

चरण 8.3.3.5

$512$ में से $460$ घटाएं.

$52 - 52$

चरण 8.3.3.6

$52$ में से $52$ घटाएं.

$0$

चरण 8.3.4

चूँकि $- 4$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x + 4$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{2 x^{4} + 115 x - 52}{x + 4}$

चरण 8.3.5

$2 x^{4} + 115 x - 52$ को $x + 4$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

चरण 8.3.5.2

भाज्य $2 x^{4}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

चरण 8.3.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

चरण 8.3.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $2 x^{4} + 8 x^{3}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

चरण 8.3.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

चरण 8.3.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

चरण 8.3.5.7

भाज्य $- 8 x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

चरण 8.3.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

चरण 8.3.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 8 x^{3} - 32 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

चरण 8.3.5.10

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

चरण 8.3.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

चरण 8.3.5.12

भाज्य $32 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

चरण 8.3.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

चरण 8.3.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $32 x^{2} + 128 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

चरण 8.3.5.15

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

चरण 8.3.5.16

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

चरण 8.3.5.17

भाज्य $- 13 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

चरण 8.3.5.18

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

$13 x$

$52$

चरण 8.3.5.19

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 13 x - 52$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

$13 x$

$52$

चरण 8.3.5.20

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

$13 x$

$52$

$0$

चरण 8.3.5.21

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13$

चरण 8.3.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $2 x^{4} + 115 x - 52$ लिखें.

$- 5 x^{2} (x + 4) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13) = 0$

चरण 8.4

$- 5 x^{2} (x + 4) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13)$ में से $x + 4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1

$- 5 x^{2} (x + 4)$ में से $x + 4$ का गुणनखंड करें.

$(x + 4) (- 5 x^{2}) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13) = 0$

चरण 8.4.2

$(x + 4) (- 5 x^{2}) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13)$ में से $x + 4$ का गुणनखंड करें.

$(x + 4) (- 5 x^{2} + 2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13) = 0$

चरण 8.5

$- 5 x^{2}$ में से $8 x^{2}$ घटाएं.

$(x + 4) (2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13) = 0$

चरण 8.6

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.6.1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.6.1.1

$p = \pm 1, \pm 13$

$q = \pm 1, \pm 2$

चरण 8.6.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 13, \pm 6.5$

चरण 8.6.1.3

$0.5$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $0.5$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.6.1.3.1

$0.5$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$2 \cdot {0.5}^{3} - 13 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 13$

चरण 8.6.1.3.2

$0.5$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 \cdot 0.125 - 13 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 13$

चरण 8.6.1.3.3

$2$ को $0.125$ से गुणा करें.

$0.25 - 13 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 13$

चरण 8.6.1.3.4

$0.5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$0.25 - 13 \cdot 0.25 + 32 \cdot 0.5 - 13$

चरण 8.6.1.3.5

$- 13$ को $0.25$ से गुणा करें.

$0.25 - 3.25 + 32 \cdot 0.5 - 13$

चरण 8.6.1.3.6

$0.25$ में से $3.25$ घटाएं.

$- 3 + 32 \cdot 0.5 - 13$

चरण 8.6.1.3.7

$32$ को $0.5$ से गुणा करें.

$- 3 + 16 - 13$

चरण 8.6.1.3.8

$- 3$ और $16$ जोड़ें.

$13 - 13$

चरण 8.6.1.3.9

$13$ में से $13$ घटाएं.

$0$

चरण 8.6.1.4

चूँकि $0.5$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $2 x - 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13}{2 x - 1}$

चरण 8.6.1.5

$2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13$ को $2 x - 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.6.1.5.1

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$13 x^{2}$

$32 x$

$13$

चरण 8.6.1.5.2

भाज्य $2 x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $2 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$

चरण 8.6.1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

चरण 8.6.1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $2 x^{3} - x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

चरण 8.6.1.5.5

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

चरण 8.6.1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$

चरण 8.6.1.5.7

भाज्य $- 12 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $2 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$

चरण 8.6.1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$6 x$

चरण 8.6.1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 12 x^{2} + 6 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$

चरण 8.6.1.5.10

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$

चरण 8.6.1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$

चरण 8.6.1.5.12

भाज्य $26 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $2 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$

चरण 8.6.1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$
							+	$26 x$	-	$13$

चरण 8.6.1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $26 x - 13$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$
							-	$26 x$	+	$13$

चरण 8.6.1.5.15

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$
							-	$26 x$	+	$13$
										$0$

चरण 8.6.1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} - 6 x + 13$

चरण 8.6.1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13$ लिखें.

$(x + 4) ((2 x - 1) (x^{2} - 6 x + 13)) = 0$

चरण 8.6.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(x + 4) (2 x - 1) (x^{2} - 6 x + 13) = 0$

चरण 9

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x + 4 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x^{2} - 6 x + 13 = 0$

चरण 10

$x + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$x + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 4 = 0$

चरण 10.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$x = - 4$

चरण 11

$2 x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$2 x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 x - 1 = 0$

चरण 11.2

$x$ के लिए $2 x - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$2 x = 1$

चरण 11.2.2

$2 x = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.2.1

$2 x = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 11.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 11.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{1}{2}$

चरण 12

$x^{2} - 6 x + 13$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$x^{2} - 6 x + 13$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} - 6 x + 13 = 0$

चरण 12.2

$x$ के लिए $x^{2} - 6 x + 13 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 12.2.2

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = - 6$ और $c = 13$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1}$

चरण 12.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.3.1.1

$- 6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

चरण 12.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 13$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.3.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

चरण 12.2.3.1.2.2

$- 4$ को $13$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

चरण 12.2.3.1.3

$36$ में से $52$ घटाएं.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

चरण 12.2.3.1.4

$- 16$ को $- 1 (16)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

चरण 12.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (16)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

चरण 12.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

चरण 12.2.3.1.7

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

चरण 12.2.3.1.8

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

चरण 12.2.3.1.9

$4$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

चरण 12.2.3.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

चरण 12.2.3.3

$\frac{6 \pm 4 i}{2}$ को सरल करें.

$x = 3 \pm 2 i$

चरण 12.2.4

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = 3 + 2 i, 3 - 2 i$

चरण 13

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x + 4) (2 x - 1) (x^{2} - 6 x + 13) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - 4, \frac{1}{2}, 3 + 2 i, 3 - 2 i$

चरण 14