प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 5 x^{3} + 12 x^{2} + 9 x + 2$

चरण 1

x- अंत:खंड ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

x- अंत:खंड(अंत:खंडों) को ज्ञात करने के लिए, $0$ में $y$ को प्रतिस्थापित करें और $x$ को हल करें.

$0 = 5 x^{3} + 12 x^{2} + 9 x + 2$

चरण 1.2

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

समीकरण को $5 x^{3} + 12 x^{2} + 9 x + 2 = 0$ के रूप में फिर से लिखें.

$5 x^{3} + 12 x^{2} + 9 x + 2 = 0$

चरण 1.2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $5 x^{3} + 12 x^{2} + 9 x + 2$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 5$

चरण 1.2.2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 2, \pm 0.4$

चरण 1.2.2.1.3

$- 1$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $- 1$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1.3.1

$- 1$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$5 {(- 1)}^{3} + 12 {(- 1)}^{2} + 9 \cdot - 1 + 2$

चरण 1.2.2.1.3.2

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$5 \cdot - 1 + 12 {(- 1)}^{2} + 9 \cdot - 1 + 2$

चरण 1.2.2.1.3.3

$5$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 5 + 12 {(- 1)}^{2} + 9 \cdot - 1 + 2$

चरण 1.2.2.1.3.4

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 5 + 12 \cdot 1 + 9 \cdot - 1 + 2$

चरण 1.2.2.1.3.5

$12$ को $1$ से गुणा करें.

$- 5 + 12 + 9 \cdot - 1 + 2$

चरण 1.2.2.1.3.6

$- 5$ और $12$ जोड़ें.

$7 + 9 \cdot - 1 + 2$

चरण 1.2.2.1.3.7

$9$ को $- 1$ से गुणा करें.

$7 - 9 + 2$

चरण 1.2.2.1.3.8

$7$ में से $9$ घटाएं.

$- 2 + 2$

चरण 1.2.2.1.3.9

$- 2$ और $2$ जोड़ें.

$0$

चरण 1.2.2.1.4

चूँकि $- 1$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x + 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{5 x^{3} + 12 x^{2} + 9 x + 2}{x + 1}$

चरण 1.2.2.1.5

$5 x^{3} + 12 x^{2} + 9 x + 2$ को $x + 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$2$

चरण 1.2.2.1.5.2

भाज्य $5 x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$5 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$5 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$

चरण 1.2.2.1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$1$		$5 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			+	$5 x^{3}$	+	$5 x^{2}$

चरण 1.2.2.1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $5 x^{3} + 5 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$5 x^{2}$
$x$	+	$1$		$5 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$5 x^{3}$	-	$5 x^{2}$

चरण 1.2.2.1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$1$		$5 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$5 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$

चरण 1.2.2.1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$1$		$5 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$5 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$9 x$

चरण 1.2.2.1.5.7

भाज्य $7 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$5 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$5 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$5 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$9 x$

चरण 1.2.2.1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$5 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$5 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$5 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$7 x^{2}$	+	$7 x$

चरण 1.2.2.1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $7 x^{2} + 7 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$5 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$5 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$5 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$

चरण 1.2.2.1.5.10

				$5 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$5 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$5 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$2 x$

चरण 1.2.2.1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$5 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$5 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$5 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$2 x$	+	$2$

चरण 1.2.2.1.5.12

भाज्य $2 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$5 x^{2}$	+	$7 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$5 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$5 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$2 x$	+	$2$

चरण 1.2.2.1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$5 x^{2}$	+	$7 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$5 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$5 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

चरण 1.2.2.1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $2 x + 2$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$5 x^{2}$	+	$7 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$5 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$5 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

चरण 1.2.2.1.5.15

				$5 x^{2}$	+	$7 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$5 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$5 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$
										$0$

चरण 1.2.2.1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$5 x^{2} + 7 x + 2$

चरण 1.2.2.1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $5 x^{3} + 12 x^{2} + 9 x + 2$ लिखें.

$(x + 1) (5 x^{2} + 7 x + 2) = 0$

चरण 1.2.2.2

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 5 \cdot 2 = 10$ है और जिसका योग $b = 7$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1.1.1

$7 x$ में से $7$ का गुणनखंड करें.

$(x + 1) (5 x^{2} + 7 (x) + 2) = 0$

चरण 1.2.2.2.1.1.2

$7$ को $2$ जोड़ $5$ के रूप में फिर से लिखें

$(x + 1) (5 x^{2} + (2 + 5) x + 2) = 0$

चरण 1.2.2.2.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x + 1) (5 x^{2} + 2 x + 5 x + 2) = 0$

चरण 1.2.2.2.1.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$(x + 1) ((5 x^{2} + 2 x) + 5 x + 2) = 0$

चरण 1.2.2.2.1.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$(x + 1) (x (5 x + 2) + 1 (5 x + 2)) = 0$

चरण 1.2.2.2.1.3

महत्तम समापवर्तक, $5 x + 2$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(x + 1) ((5 x + 2) (x + 1)) = 0$

चरण 1.2.2.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(x + 1) (5 x + 2) (x + 1) = 0$

चरण 1.2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x + 1 = 0$

$5 x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

चरण 1.2.4

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 1 = 0$

चरण 1.2.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x = - 1$

चरण 1.2.5

$5 x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

$5 x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$5 x + 2 = 0$

चरण 1.2.5.2

$x$ के लिए $5 x + 2 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$5 x = - 2$

चरण 1.2.5.2.2

$5 x = - 2$ के प्रत्येक पद को $5$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.2.1

$5 x = - 2$ के प्रत्येक पद को $5$ से विभाजित करें.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

चरण 1.2.5.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.2.2.1

$5$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

चरण 1.2.5.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- 2}{5}$

चरण 1.2.5.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.2.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x = - \frac{2}{5}$

चरण 1.2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x + 1) (5 x + 2) (x + 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - 1, - \frac{2}{5}$

चरण 1.3

x- अंत:खंड(अंत:खंडों) एक बिन्दु के रूप में.

x- अंत:खंड(अंत:खंडों): $(- 1, 0), (- \frac{2}{5}, 0)$

चरण 2

y- अंत:खंड पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

y- अंत:खंड (ओं) को ज्ञात करने के लिए, $0$ में $x$ को प्रतिस्थापित करें और $y$ को हल करें.

$y = 5 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2} + 9 (0) + 2$

चरण 2.2

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = 5 \cdot 0^{3} + 12 {(0)}^{2} + 9 (0) + 2$

चरण 2.2.2

कोष्ठक हटा दें.

$y = 5 \cdot 0^{3} + 12 \cdot 0^{2} + 9 (0) + 2$

चरण 2.2.3

कोष्ठक हटा दें.

$y = 5 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2} + 9 (0) + 2$

चरण 2.2.4

$5 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2} + 9 (0) + 2$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$y = 5 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2} + 9 (0) + 2$

चरण 2.2.4.1.2

$5$ को $0$ से गुणा करें.

$y = 0 + 12 {(0)}^{2} + 9 (0) + 2$

चरण 2.2.4.1.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$y = 0 + 12 \cdot 0 + 9 (0) + 2$

चरण 2.2.4.1.4

$12$ को $0$ से गुणा करें.

$y = 0 + 0 + 9 (0) + 2$

चरण 2.2.4.1.5

$9$ को $0$ से गुणा करें.

$y = 0 + 0 + 0 + 2$

चरण 2.2.4.2

संख्याओं को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.2.1

$0$ और $0$ जोड़ें.

$y = 0 + 0 + 2$

चरण 2.2.4.2.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$y = 0 + 2$

चरण 2.2.4.2.3

$0$ और $2$ जोड़ें.

$y = 2$

चरण 2.3

y- अंत:खंड(अंत:खंडों) एक बिन्दु के रूप में.

y- अंत:खंड(अंत:खंडों): $(0, 2)$

चरण 3

प्रतिच्छेदनों को सूचीबद्ध करें.

x- अंत:खंड(अंत:खंडों): $(- 1, 0), (- \frac{2}{5}, 0)$

y- अंत:खंड(अंत:खंडों): $(0, 2)$

चरण 4