प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{4} - x^{3} - 14 x^{2} + 2 x + 24$

चरण 1

x- अंत:खंड ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

x- अंत:खंड(अंत:खंडों) को ज्ञात करने के लिए, $0$ में $y$ को प्रतिस्थापित करें और $x$ को हल करें.

$0 = x^{4} - x^{3} - 14 x^{2} + 2 x + 24$

चरण 1.2

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

समीकरण को $x^{4} - x^{3} - 14 x^{2} + 2 x + 24 = 0$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{4} - x^{3} - 14 x^{2} + 2 x + 24 = 0$

चरण 1.2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

पदों को फिर से समूहित करें.

$- x^{3} + 2 x + x^{4} - 14 x^{2} + 24 = 0$

चरण 1.2.2.2

$- x^{3} + 2 x$ में से $- x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1

$- x^{3}$ में से $- x$ का गुणनखंड करें.

$- x \cdot x^{2} + 2 x + x^{4} - 14 x^{2} + 24 = 0$

चरण 1.2.2.2.2

$2 x$ में से $- x$ का गुणनखंड करें.

$- x \cdot x^{2} - x \cdot - 2 + x^{4} - 14 x^{2} + 24 = 0$

चरण 1.2.2.2.3

$- x (x^{2}) - x (- 2)$ में से $- x$ का गुणनखंड करें.

$- x (x^{2} - 2) + x^{4} - 14 x^{2} + 24 = 0$

चरण 1.2.2.3

$x^{4}$ को ${(x^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- x (x^{2} - 2) + {(x^{2})}^{2} - 14 x^{2} + 24 = 0$

चरण 1.2.2.4

मान लीजिए $u = x^{2}$ . $x^{2}$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$- x (x^{2} - 2) + u^{2} - 14 u + 24 = 0$

चरण 1.2.2.5

AC विधि का उपयोग करके $u^{2} - 14 u + 24$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.5.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $24$ है और जिसका योग $- 14$ है.

$- 12, - 2$

चरण 1.2.2.5.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$- x (x^{2} - 2) + (u - 12) (u - 2) = 0$

चरण 1.2.2.6

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$- x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 12) (x^{2} - 2) = 0$

चरण 1.2.2.7

$- x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 12) (x^{2} - 2)$ में से $x^{2} - 2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.7.1

$- x (x^{2} - 2)$ में से $x^{2} - 2$ का गुणनखंड करें.

$(x^{2} - 2) (- x) + (x^{2} - 12) (x^{2} - 2) = 0$

चरण 1.2.2.7.2

$(x^{2} - 12) (x^{2} - 2)$ में से $x^{2} - 2$ का गुणनखंड करें.

$(x^{2} - 2) (- x) + (x^{2} - 2) (x^{2} - 12) = 0$

चरण 1.2.2.7.3

$(x^{2} - 2) (- x) + (x^{2} - 2) (x^{2} - 12)$ में से $x^{2} - 2$ का गुणनखंड करें.

$(x^{2} - 2) (- x + x^{2} - 12) = 0$

चरण 1.2.2.8

मान लीजिए $u = x$ . $x$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$(x^{2} - 2) (- u + u^{2} - 12) = 0$

चरण 1.2.2.9

AC विधि का उपयोग करके $- u + u^{2} - 12$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.9.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 12$ है और जिसका योग $- 1$ है.

$- 4, 3$

चरण 1.2.2.9.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(x^{2} - 2) ((u - 4) (u + 3)) = 0$

चरण 1.2.2.10

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.10.1

$u$ की सभी घटनाओं को $x$ से बदलें.

$(x^{2} - 2) ((x - 4) (x + 3)) = 0$

चरण 1.2.2.10.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(x^{2} - 2) (x - 4) (x + 3) = 0$

चरण 1.2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x^{2} - 2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

चरण 1.2.4

$x^{2} - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$x^{2} - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} - 2 = 0$

चरण 1.2.4.2

$x$ के लिए $x^{2} - 2 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$x^{2} = 2$

चरण 1.2.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

चरण 1.2.4.2.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.3.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = \sqrt{2}$

चरण 1.2.4.2.3.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - \sqrt{2}$

चरण 1.2.4.2.3.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

चरण 1.2.5

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 4 = 0$

चरण 1.2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$x = 4$

चरण 1.2.6

$x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

$x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 3 = 0$

चरण 1.2.6.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $3$ घटाएं.

$x = - 3$

चरण 1.2.7

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x^{2} - 2) (x - 4) (x + 3) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 4, - 3$

चरण 1.3

x- अंत:खंड(अंत:खंडों) एक बिन्दु के रूप में.

x- अंत:खंड(अंत:खंडों): $(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0), (4, 0), (- 3, 0)$

चरण 2

y- अंत:खंड पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

y- अंत:खंड (ओं) को ज्ञात करने के लिए, $0$ में $x$ को प्रतिस्थापित करें और $y$ को हल करें.

$y = {(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

चरण 2.2

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = 0^{4} - {(0)}^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

चरण 2.2.2

कोष्ठक हटा दें.

$y = 0^{4} - 0^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

चरण 2.2.3

कोष्ठक हटा दें.

$y = 0^{4} - 0^{3} - 14 \cdot 0^{2} + 2 (0) + 24$

चरण 2.2.4

कोष्ठक हटा दें.

$y = {(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

चरण 2.2.5

${(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$y = 0 - {(0)}^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

चरण 2.2.5.1.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$y = 0 - 0 - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

चरण 2.2.5.1.3

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$y = 0 + 0 - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

चरण 2.2.5.1.4

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$y = 0 + 0 - 14 \cdot 0 + 2 (0) + 24$

चरण 2.2.5.1.5

$- 14$ को $0$ से गुणा करें.

$y = 0 + 0 + 0 + 2 (0) + 24$

चरण 2.2.5.1.6

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 24$

चरण 2.2.5.2

संख्याओं को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.2.1

$0$ और $0$ जोड़ें.

$y = 0 + 0 + 0 + 24$

चरण 2.2.5.2.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$y = 0 + 0 + 24$

चरण 2.2.5.2.3

$0$ और $0$ जोड़ें.

$y = 0 + 24$

चरण 2.2.5.2.4

$0$ और $24$ जोड़ें.

$y = 24$

चरण 2.3

y- अंत:खंड(अंत:खंडों) एक बिन्दु के रूप में.

y- अंत:खंड(अंत:खंडों): $(0, 24)$

चरण 3

प्रतिच्छेदनों को सूचीबद्ध करें.

x- अंत:खंड(अंत:खंडों): $(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0), (4, 0), (- 3, 0)$

y- अंत:खंड(अंत:खंडों): $(0, 24)$

चरण 4