प्री-कैलकुलस उदाहरण

$2 x^{3} - 5 x^{2} \leq - 4 x + 21$

चरण 1

असमानता के दोनों पक्षों में $4 x$ जोड़ें.

$2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x \leq 21$

चरण 2

असमानता को समीकरण में बदलें.

$2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x = 21$

चरण 3

समीकरण के दोनों पक्षों से $21$ घटाएं.

$2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 21 = 0$

चरण 4

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 21$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 21, \pm 3, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 2$

चरण 4.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 21, \pm 10.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 7, \pm 3.5$

चरण 4.3

$3$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $3$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$3$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$2 \cdot 3^{3} - 5 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 21$

चरण 4.3.2

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 \cdot 27 - 5 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 21$

चरण 4.3.3

$2$ को $27$ से गुणा करें.

$54 - 5 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 21$

चरण 4.3.4

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$54 - 5 \cdot 9 + 4 \cdot 3 - 21$

चरण 4.3.5

$- 5$ को $9$ से गुणा करें.

$54 - 45 + 4 \cdot 3 - 21$

चरण 4.3.6

$54$ में से $45$ घटाएं.

$9 + 4 \cdot 3 - 21$

चरण 4.3.7

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$9 + 12 - 21$

चरण 4.3.8

$9$ और $12$ जोड़ें.

$21 - 21$

चरण 4.3.9

$21$ में से $21$ घटाएं.

$0$

चरण 4.4

चूँकि $3$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x - 3$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 21}{x - 3}$

चरण 4.5

$2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 21$ को $x - 3$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$3$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$21$

चरण 4.5.2

भाज्य $2 x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$

चरण 4.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			+	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

चरण 4.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $2 x^{3} - 6 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

चरण 4.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$

चरण 4.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$

चरण 4.5.7

भाज्य $x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$

चरण 4.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

चरण 4.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{2} - 3 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$

चरण 4.5.10

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$

चरण 4.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$	-	$21$

चरण 4.5.12

भाज्य $7 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$7$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$	-	$21$

चरण 4.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$7$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$	-	$21$
							+	$7 x$	-	$21$

चरण 4.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $7 x - 21$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$7$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$	-	$21$
							-	$7 x$	+	$21$

चरण 4.5.15

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$7$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$	-	$21$
							-	$7 x$	+	$21$
										$0$

चरण 4.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$2 x^{2} + x + 7$

चरण 4.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 21$ लिखें.

$(x - 3) (2 x^{2} + x + 7) = 0$

चरण 5

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x - 3 = 0$

$2 x^{2} + x + 7 = 0$

चरण 6

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 3 = 0$

चरण 6.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$x = 3$

चरण 7

$2 x^{2} + x + 7$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$2 x^{2} + x + 7$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 x^{2} + x + 7 = 0$

चरण 7.2

$x$ के लिए $2 x^{2} + x + 7 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 7.2.2

द्विघात सूत्र में $a = 2$ , $b = 1$ और $c = 7$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 7)}}{2 \cdot 2}$

चरण 7.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

चरण 7.2.3.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 7$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1.2.1

$- 4$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

चरण 7.2.3.1.2.2

$- 8$ को $7$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 56}}{2 \cdot 2}$

चरण 7.2.3.1.3

$1$ में से $56$ घटाएं.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 55}}{2 \cdot 2}$

चरण 7.2.3.1.4

$- 55$ को $- 1 (55)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 55}}{2 \cdot 2}$

चरण 7.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (55)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

चरण 7.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

चरण 7.2.3.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{4}$

चरण 7.2.4

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.4.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

चरण 7.2.4.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 7$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.4.1.2.1

$- 4$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

चरण 7.2.4.1.2.2

$- 8$ को $7$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 56}}{2 \cdot 2}$

चरण 7.2.4.1.3

$1$ में से $56$ घटाएं.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 55}}{2 \cdot 2}$

चरण 7.2.4.1.4

$- 55$ को $- 1 (55)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 55}}{2 \cdot 2}$

चरण 7.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (55)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

चरण 7.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

चरण 7.2.4.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{4}$

चरण 7.2.4.3

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{55}}{4}$

चरण 7.2.4.4

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{55}}{4}$

चरण 7.2.4.5

$i \sqrt{55}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{55})}{4}$

चरण 7.2.4.6

$- 1 (1) - (- i \sqrt{55})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{55})}{4}$

चरण 7.2.4.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{55}}{4}$

चरण 7.2.5

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.5.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

चरण 7.2.5.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 7$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.5.1.2.1

$- 4$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

चरण 7.2.5.1.2.2

$- 8$ को $7$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 56}}{2 \cdot 2}$

चरण 7.2.5.1.3

$1$ में से $56$ घटाएं.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 55}}{2 \cdot 2}$

चरण 7.2.5.1.4

$- 55$ को $- 1 (55)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 55}}{2 \cdot 2}$

चरण 7.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (55)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

चरण 7.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

चरण 7.2.5.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{4}$

चरण 7.2.5.3

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{55}}{4}$

चरण 7.2.5.4

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{55}}{4}$

चरण 7.2.5.5

$- i \sqrt{55}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{55})}{4}$

चरण 7.2.5.6

$- 1 (1) - (i \sqrt{55})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{55})}{4}$

चरण 7.2.5.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{55}}{4}$

चरण 7.2.6

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{55}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{55}}{4}$

चरण 8

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x - 3) (2 x^{2} + x + 7) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 3, - \frac{1 - i \sqrt{55}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{55}}{4}$

चरण 9

हल में सभी सच्चे अंतराल होते हैं.

$x \leq 3$

चरण 10

असमानता को अंतराल संकेतन में बदलें.

$(- \infty, 3]$

चरण 11