प्री-कैलकुलस उदाहरण

$x^{3} + 3 x^{2} - 9 x \leq 27$

चरण 1

असमानता को समीकरण में बदलें.

$x^{3} + 3 x^{2} - 9 x = 27$

चरण 2

समीकरण के दोनों पक्षों से $27$ घटाएं.

$x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 27 = 0$

चरण 3

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$(x^{3} + 3 x^{2}) - 9 x - 27 = 0$

चरण 3.1.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$x^{2} (x + 3) - 9 (x + 3) = 0$

चरण 3.2

महत्तम समापवर्तक, $x + 3$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(x + 3) (x^{2} - 9) = 0$

चरण 3.3

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$(x + 3) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

चरण 3.4

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 3$ .

$(x + 3) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

चरण 3.4.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(x + 3) (x + 3) (x - 3) = 0$

चरण 3.5

प्रतिपादकों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$x + 3$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$(x + 3) (x + 3) (x - 3) = 0$

चरण 3.5.2

$x + 3$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$(x + 3) (x + 3) (x - 3) = 0$

चरण 3.5.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

${(x + 3)}^{1 + 1} (x - 3) = 0$

चरण 3.5.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

${(x + 3)}^{2} (x - 3) = 0$

चरण 4

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

${(x + 3)}^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

चरण 5

${(x + 3)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

${(x + 3)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

${(x + 3)}^{2} = 0$

चरण 5.2

$x$ के लिए ${(x + 3)}^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 3 = 0$

चरण 5.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $3$ घटाएं.

$x = - 3$

चरण 6

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 3 = 0$

चरण 6.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$x = 3$

चरण 7

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो ${(x + 3)}^{2} (x - 3) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - 3, 3$

चरण 8

परीक्षण अंतराल बनाने के लिए प्रत्येक मूल का प्रयोग करें.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

चरण 9

प्रत्येक अंतराल से एक परीक्षण मान चुनें और यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से अंतराल असमानता को संतुष्ट करते हैं, इस मान को मूल असमानता में प्लग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

अंतराल $x < - 3$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

अंतराल $x < - 3$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = - 6$

चरण 9.1.2

मूल असमानता में $x$ को $- 6$ से बदलें.

${(- 6)}^{3} + 3 {(- 6)}^{2} - 9 \cdot - 6 \leq 27$

चरण 9.1.3

बाईं ओर $- 54$ दाईं ओर $27$ से छोटा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

सत्य

चरण 9.2

अंतराल $- 3 < x < 3$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

अंतराल $- 3 < x < 3$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 0$

चरण 9.2.2

मूल असमानता में $x$ को $0$ से बदलें.

${(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} - 9 \cdot 0 \leq 27$

चरण 9.2.3

बाईं ओर $0$ दाईं ओर $27$ से छोटा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

सत्य

चरण 9.3

अंतराल $x > 3$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

अंतराल $x > 3$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 6$

चरण 9.3.2

मूल असमानता में $x$ को $6$ से बदलें.

${(6)}^{3} + 3 {(6)}^{2} - 9 \cdot 6 \leq 27$

चरण 9.3.3

बाईं ओर $270$ दाईं ओर $27$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

असत्य

चरण 9.4

यह निर्धारित करने के लिए अंतराल की तुलना करें कि कौन से तत्व मूल असमानता को संतुष्ट करते हैं.

$x < - 3$ सही

$- 3 < x < 3$ सही

$x > 3$ गलत

$x < - 3$ सही

$- 3 < x < 3$ सही

$x > 3$ गलत

चरण 10

हल में सभी सच्चे अंतराल होते हैं.

$x \leq - 3$ या $- 3 \leq x \leq 3$

चरण 11

अंतराल को जोड़ें.

$x \leq 3$

चरण 12

असमानता को अंतराल संकेतन में बदलें.

$(- \infty, 3]$

चरण 13