प्री-कैलकुलस उदाहरण

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{12} = 1$

चरण 1

दाईं ओर $1$ के बराबर सेट करने के लिए समीकरण में प्रत्येक पद को सरल करें. दीर्घवृत्त या अतिपरवलय के मानक रूप के लिए समीकरण के दाएं पक्ष की ओर $1$ होना आवश्यक है.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{12} = 1$

चरण 2

यह अतिपरवलय का रूप है. अतिपरवलय के शीर्ष और स्पर्शोन्मुख को खोजने के लिए उपयोग किए गए मानों को निर्धारित करने के लिए इस रूप का उपयोग करें.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

चरण 3

इस अतिपरवलय के मान को मानक रूप के मान से सुमेलित कीजिए. चर $h$ मूल से x- ऑफ़सेट का प्रतिनिधित्व करता है, $k$ मूल से y- ऑफ़सेट का प्रतिनिधित्व करता है, $a$ .

$a = 2$

$b = 2 \sqrt{3}$

$k = 0$

$h = 0$

चरण 4

अतिपरवलय का केंद्र $(h, k)$ के रूप का अनुसरण करता है. $h$ और $k$ के मानों को प्रतिस्थापित करें.

$(0, 0)$

चरण 5

$c$ , केंद्र से नाभि तक दूरी पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

निम्न सूत्र का उपयोग करके अतिपरवलय के केंद्र से नाभि तक की दूरी पता करें.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

चरण 5.2

सूत्र में $a$ और $b$ के मान प्रतिस्थापित करें.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

चरण 5.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sqrt{4 + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

चरण 5.3.1.2

उत्पाद नियम को $2 \sqrt{3}$ पर लागू करें.

$\sqrt{4 + 2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

चरण 5.3.1.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}$

चरण 5.3.2

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 5.3.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 5.3.2.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 5.3.2.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{1}}$

चरण 5.3.2.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3}$

चरण 5.3.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$\sqrt{4 + 12}$

चरण 5.3.3.2

$4$ और $12$ जोड़ें.

$\sqrt{16}$

चरण 5.3.3.3

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\sqrt{4^{2}}$

चरण 5.3.3.4

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$4$

चरण 6

शीर्ष बिंदु को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

अतिपरवलय का पहला शीर्ष $a$ को $k$ में जोड़कर पता किया जा सकता है.

$(h, k + a)$

चरण 6.2

$h$ , $a$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(0, 2)$

चरण 6.3

अतिपरवलय का दूसरा शीर्ष $a$ को $k$ से घटाकर पता किया जा सकता है.

$(h, k - a)$

चरण 6.4

$h$ , $a$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(0, - 2)$

चरण 6.5

अतिपरवलय के शीर्ष $(h, k \pm a)$ के रूप का अनुसरण करते हैं. अतिपरवलय के दो शीर्ष होते हैं.

$(0, 2), (0, - 2)$

चरण 7

नाभियाँ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

अतिपरवलय का पहला फोकस $c$ को $k$ में जोड़कर पता किया जा सकता है.

$(h, k + c)$

चरण 7.2

$h$ , $c$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(0, 4)$

चरण 7.3

अतिपरवलय का दूसरा फोकस $c$ को $k$ से घटाकर पता किया जा सकता है.

$(h, k - c)$

चरण 7.4

$h$ , $c$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(0, - 4)$

चरण 7.5

अतिपरवलय का फोकस $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ के रूप का अनुसरण करता है. अतिपरवलयों के दो फोकस होते हैं.

$(0, 4), (0, - 4)$

चरण 8

उत्केंद्रता पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके उत्केंद्रता ज्ञात करें.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

चरण 8.2

सूत्र में $a$ और $b$ के मानों को प्रतिस्थापित करें.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{2}$

चरण 8.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\sqrt{4 + {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{2}$

चरण 8.3.1.2

उत्पाद नियम को $2 \sqrt{3}$ पर लागू करें.

$\frac{\sqrt{4 + 2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

चरण 8.3.1.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

चरण 8.3.1.4

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.4.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{\sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

चरण 8.3.1.4.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

चरण 8.3.1.4.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

चरण 8.3.1.4.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.4.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

चरण 8.3.1.4.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{1}}}{2}$

चरण 8.3.1.4.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3}}{2}$

चरण 8.3.1.5

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{\sqrt{4 + 12}}{2}$

चरण 8.3.1.6

$4$ और $12$ जोड़ें.

$\frac{\sqrt{16}}{2}$

चरण 8.3.1.7

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{2}$

चरण 8.3.1.8

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\frac{4}{2}$

चरण 8.3.2

$4$ को $2$ से विभाजित करें.

$2$

चरण 9

नाभीय मानदंड पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

निम्न सूत्र का उपयोग करके अतिपरवलय के फोकल पैरामीटर का मान पता करें.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

चरण 9.2

सूत्र में $b$ और $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ के मान प्रतिस्थापित करें.

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

चरण 9.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$2$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1.1

$2 {\sqrt{3}}^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 ({\sqrt{3}}^{2})}{4}$

चरण 9.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2}$

चरण 9.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2}$

चरण 9.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2}$

चरण 9.3.2

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.2.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

चरण 9.3.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

चरण 9.3.2.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

चरण 9.3.2.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.2.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

चरण 9.3.2.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3^{1}}{2}$

चरण 9.3.2.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\frac{3}{2}$

चरण 10

स्पर्शोन्मुख रूप $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ का अनुसरण करते हैं क्योंकि यह अतिपरवलय ऊपर और नीचे खुलता है.

$y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x + 0$

चरण 11

$\frac{\sqrt{3}}{3} x + 0$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$\frac{\sqrt{3}}{3} x$ और $0$ जोड़ें.

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$

चरण 11.2

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ और $x$ को मिलाएं.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3}$

चरण 12

$- \frac{\sqrt{3}}{3} x + 0$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$- \frac{\sqrt{3}}{3} x$ और $0$ जोड़ें.

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x$

चरण 12.2

$x$ और $\frac{\sqrt{3}}{3}$ को मिलाएं.

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3}$

चरण 13

इस अतिपरवलय में दो स्पर्शोन्मुख होते हैं.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3}, y = - \frac{x \sqrt{3}}{3}$

चरण 14

ये मान अतिपरवलय के ग्राफ और विश्लेषण के लिए महत्वपूर्ण मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं.

केंद्र: $(0, 0)$

शीर्ष: $(0, 2), (0, - 2)$

फ़ॉसी: $(0, 4), (0, - 4)$

उत्क्रेंद्रता: $2$

फोकल पैरामीटर: $\frac{3}{2}$

अनंतस्पर्शी: $y = \frac{\sqrt{3} x}{3}$ , $y = - \frac{x \sqrt{3}}{3}$

चरण 15