प्री-कैलकुलस उदाहरण

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{2} + 14 x + 45}$

चरण 1

पता करें कि व्यंजक/अभिव्यक्ति $\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{2} + 14 x + 45}$ कहाँ अपरिभाषित है.

$x = - 9, x = - 5$

चरण 2

चूँकि $\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{2} + 14 x + 45}$ $\to$ $- \infty$ को बाईं ओर से $x$ $\to$ $- 9$ और $\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{2} + 14 x + 45}$ $\to$ $\infty$ को दाईं ओर से $x$ $\to$ $- 9$ के रूप में, फिर (EQUATION6 ) एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है.

$x = - 9$

चरण 3

परिमेय फलन $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ पर विचार करें जहां $n$ न्यूमेरेटर की घात है और $m$ भाजक की घात है.

1. यदि $n < m$ , तो x-अक्ष, $y = 0$ , हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट है.

2. यदि $n = m$ है, तो हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट रेखा $y = \frac{a}{b}$ है.

3. यदि $n > m$ है, तो कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है (एक तिरछी अनंतस्पर्शी है).

चरण 4

$n$ और $m$ पता करें.

$n = 3$

$m = 2$

चरण 5

चूंकि $n > m$ , कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है.

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

चरण 6

बहुपद भाजन का उपयोग करके तिरछी अनंतस्पर्शी पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} + 14 x + 45$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $45$ है और जिसका योग $14$ है.

$5, 9$

चरण 6.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{(x + 5) (x + 9)}$

चरण 6.2

$(x + 5) (x + 9)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x (x + 9) + 5 (x + 9)}$

चरण 6.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x \cdot x + x \cdot 9 + 5 (x + 9)}$

चरण 6.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x \cdot x + x \cdot 9 + 5 x + 5 \cdot 9}$

चरण 6.2.4

$x$ और $9$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x \cdot x + 9 x + 5 x + 5 \cdot 9}$

चरण 6.2.5

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x \cdot x + 9 x + 5 x + 5 \cdot 9}$

चरण 6.2.6

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x \cdot x + 9 x + 5 x + 5 \cdot 9}$

चरण 6.2.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{1 + 1} + 9 x + 5 x + 5 \cdot 9}$

चरण 6.2.8

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{2} + 9 x + 5 x + 5 \cdot 9}$

चरण 6.2.9

$5$ को $9$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{2} + 9 x + 5 x + 45}$

चरण 6.2.10

$9 x$ और $5 x$ जोड़ें.

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{2} + 14 x + 45}$

चरण 6.3

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x^{2}$

$14 x$

$45$

$2 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$175$

चरण 6.4

भाज्य $2 x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x^{2}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$2 x$

$x^{2}$

$14 x$

$45$

$2 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$175$

चरण 6.5

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$2 x$

$x^{2}$

$14 x$

$45$

$2 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$175$

$2 x^{3}$

$28 x^{2}$

$90 x$

चरण 6.6

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $2 x^{3} + 28 x^{2} + 90 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$2 x$

$x^{2}$

$14 x$

$45$

$2 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$175$

$2 x^{3}$

$28 x^{2}$

$90 x$

चरण 6.7

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

$2 x$

$x^{2}$

$14 x$

$45$

$2 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$175$

$2 x^{3}$

$28 x^{2}$

$90 x$

$4 x^{2}$

$55 x$

चरण 6.8

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

						$2 x$
$x^{2}$	+	$14 x$	+	$45$		$2 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$175$
					-	$2 x^{3}$	-	$28 x^{2}$	-	$90 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$55 x$	-	$175$

चरण 6.9

भाज्य $- 4 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x^{2}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

						$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$14 x$	+	$45$		$2 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$175$
					-	$2 x^{3}$	-	$28 x^{2}$	-	$90 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$55 x$	-	$175$

चरण 6.10

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

						$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$14 x$	+	$45$		$2 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$175$
					-	$2 x^{3}$	-	$28 x^{2}$	-	$90 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$55 x$	-	$175$
							-	$4 x^{2}$	-	$56 x$	-	$180$

चरण 6.11

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 4 x^{2} - 56 x - 180$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$2 x$

$4$

$x^{2}$

$14 x$

$45$

$2 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$175$

$2 x^{3}$

$28 x^{2}$

$90 x$

$4 x^{2}$

$55 x$

$175$

$4 x^{2}$

$56 x$

$180$

चरण 6.12

$2 x$

$4$

$x^{2}$

$14 x$

$45$

$2 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$175$

$2 x^{3}$

$28 x^{2}$

$90 x$

$4 x^{2}$

$55 x$

$175$

$4 x^{2}$

$56 x$

$180$

$x$

$5$

चरण 6.13

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$2 x - 4 + \frac{x + 5}{x^{2} + 14 x + 45}$

चरण 6.14

तिरछी अनंतस्पर्शी दीर्घ विभाजन परिणाम का लंबा भाग है.

$y = 2 x - 4$

चरण 7

यह सभी अनंतस्पर्शी का सेट है.

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी: $x = - 9$

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

तिरछी अनंतस्पर्शी: $y = 2 x - 4$

चरण 8