ऊपरी और निम्न सीमायें ज्ञात कीजिये f(x)=2x^2-7

चरण 1

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 2$

चरण 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 7, \pm \frac{7}{2}$

चरण 2

$\frac{2 x^{2} - 7}{x - 7}$ पर $x = 7$ होने पर कृत्रिम विभाजन लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$7$	$2$	$0$	$- 7$

चरण 2.2

भाज्य $(2)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$7$	$2$	$0$	$- 7$

	$2$

चरण 2.3

परिणाम $(2)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(7)$ से गुणा करें और $(14)$ के परिणाम को भाज्य $(0)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$7$	$2$	$0$	$- 7$
		$14$
	$2$

चरण 2.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$7$	$2$	$0$	$- 7$
		$14$
	$2$	$14$

चरण 2.5

परिणाम $(14)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(7)$ से गुणा करें और $(98)$ के परिणाम को भाज्य $(- 7)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$7$	$2$	$0$	$- 7$
		$14$	$98$
	$2$	$14$

चरण 2.6

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$7$	$2$	$0$	$- 7$
		$14$	$98$
	$2$	$14$	$91$

चरण 2.7

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$(2) x + 14 + \frac{91}{x - 7}$

चरण 2.8

भागफल बहुपद को सरल करें.

$2 x + 14 + \frac{91}{x - 7}$

चरण 3

चूंकि $7 > 0$ और कृत्रिम विभाजन की निचली पंक्ति में सभी संकेत धनात्मक हैं, $7$ फलन की वास्तविक मूल के लिए उच्च परिबंध है.

उच्च परिबंध: $7$

चरण 4

$\frac{2 x^{2} - 7}{x + 7}$ पर $x = - 7$ होने पर कृत्रिम विभाजन लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$- 7$	$2$	$0$	$- 7$

चरण 4.2

भाज्य $(2)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$- 7$	$2$	$0$	$- 7$

	$2$

चरण 4.3

परिणाम $(2)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 7)$ से गुणा करें और $(- 14)$ के परिणाम को भाज्य $(0)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 7$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 14$
	$2$

चरण 4.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- 7$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 14$
	$2$	$- 14$

चरण 4.5

परिणाम $(- 14)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 7)$ से गुणा करें और $(98)$ के परिणाम को भाज्य $(- 7)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 7$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 14$	$98$
	$2$	$- 14$

चरण 4.6

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- 7$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 14$	$98$
	$2$	$- 14$	$91$

चरण 4.7

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$(2) x - 14 + \frac{91}{x + 7}$

चरण 4.8

भागफल बहुपद को सरल करें.

$2 x - 14 + \frac{91}{x + 7}$

चरण 5

चूंकि $- 7 < 0$ और कृत्रिम विभाजन की निचली पंक्ति में संकेत वैकल्पिक संकेत, $- 7$ फलन की वास्तविक मूल के लिए निम्न परिबंध है.

निम्न परिबंध: $- 7$

चरण 6

$\frac{2 x^{2} - 7}{x - \frac{7}{2}}$ पर $x = \frac{7}{2}$ होने पर कृत्रिम विभाजन लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$\frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$

चरण 6.2

भाज्य $(2)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$\frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$

	$2$

चरण 6.3

परिणाम $(2)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(\frac{7}{2})$ से गुणा करें और $(7)$ के परिणाम को भाज्य $(0)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$\frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$7$
	$2$

चरण 6.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$\frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$7$
	$2$	$7$

चरण 6.5

परिणाम $(7)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(\frac{7}{2})$ से गुणा करें और $(\frac{49}{2})$ के परिणाम को भाज्य $(- 7)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$\frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$7$	$\frac{49}{2}$
	$2$	$7$

चरण 6.6

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$\frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$7$	$\frac{49}{2}$
	$2$	$7$	$\frac{35}{2}$

चरण 6.7

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$(2) x + 7 + \frac{\frac{35}{2}}{x - \frac{7}{2}}$

चरण 6.8

भागफल बहुपद को सरल करें.

$2 x + 7 + \frac{35}{2 x - 7}$

चरण 7

चूंकि $\frac{7}{2} > 0$ और कृत्रिम विभाजन की निचली पंक्ति में सभी संकेत धनात्मक हैं, $\frac{7}{2}$ फलन की वास्तविक मूल के लिए उच्च परिबंध है.

उच्च परिबंध: $\frac{7}{2}$

चरण 8

$\frac{2 x^{2} - 7}{x + \frac{7}{2}}$ पर $x = - \frac{7}{2}$ होने पर कृत्रिम विभाजन लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$- \frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$

चरण 8.2

भाज्य $(2)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$- \frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$

	$2$

चरण 8.3

परिणाम $(2)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- \frac{7}{2})$ से गुणा करें और $(- 7)$ के परिणाम को भाज्य $(0)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- \frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 7$
	$2$

चरण 8.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- \frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 7$
	$2$	$- 7$

चरण 8.5

परिणाम $(- 7)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- \frac{7}{2})$ से गुणा करें और $(\frac{49}{2})$ के परिणाम को भाज्य $(- 7)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- \frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 7$	$\frac{49}{2}$
	$2$	$- 7$

चरण 8.6

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- \frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 7$	$\frac{49}{2}$
	$2$	$- 7$	$\frac{35}{2}$

चरण 8.7

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$(2) x - 7 + \frac{\frac{35}{2}}{x + \frac{7}{2}}$

चरण 8.8

भागफल बहुपद को सरल करें.

$2 x - 7 + \frac{35}{2 x + 7}$

चरण 9

चूंकि $- \frac{7}{2} < 0$ और कृत्रिम विभाजन की निचली पंक्ति में संकेत वैकल्पिक संकेत, $- \frac{7}{2}$ फलन की वास्तविक मूल के लिए निम्न परिबंध है.

निम्न परिबंध: $- \frac{7}{2}$

चरण 10

ऊपरी और निचली सीमाएँ निर्धारित करें.

उच्च परिबंध: $7, \frac{7}{2}$

निम्न परिबंध: $- 7, - \frac{7}{2}$

चरण 11

प्री-कैलकुलस उदाहरण