प्री-कैलकुलस उदाहरण

$y = \sin^{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cos (4 x)$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin^{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \cos (4 x))$

चरण 2

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\sin^{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

चरण 3.2

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (2 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \sin (2 x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\sin (2 x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

चरण 3.2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

चरण 3.2.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\sin (2 x)$ से बदलें.

$2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

चरण 3.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$2 \sin (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

चरण 3.2.2.2

$u_{2}$ के संबंध में $\sin (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{2})$ है.

$2 \sin (2 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

चरण 3.2.2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$2 \sin (2 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

चरण 3.2.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \sin (2 x) (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

चरण 3.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \sin (2 x) (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

चरण 3.2.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \sin (2 x) (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

चरण 3.2.6

$2$ को $\cos (2 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \sin (2 x) (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

चरण 3.2.7

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

चरण 3.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$ है.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

चरण 3.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 4 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{3}$ को $4 x$ के रूप में सेट करें.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [4 x])$

चरण 3.3.2.2

$u_{3}$ के संबंध में $\cos (u_{3})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{3})$ है.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [4 x])$

चरण 3.3.2.3

$u_{3}$ की सभी घटनाओं को $4 x$ से बदलें.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

चरण 3.3.3

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 3.3.4

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (4 x) (4 \cdot 1))$

चरण 3.3.5

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (4 x) \cdot 4)$

चरण 3.3.6

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- 4 \sin (4 x))$

चरण 3.3.7

$- 4$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{- 4}{2} \sin (4 x)$

चरण 3.3.8

$\frac{- 4}{2}$ और $\sin (4 x)$ को मिलाएं.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{- 4 \sin (4 x)}{2}$

चरण 3.3.9

$- 4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.9.1

$- 4 \sin (4 x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{2 (- 2 \sin (4 x))}{2}$

चरण 3.3.9.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.9.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{2 (- 2 \sin (4 x))}{2 (1)}$

चरण 3.3.9.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{2 (- 2 \sin (4 x))}{2 \cdot 1}$

चरण 3.3.9.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{- 2 \sin (4 x)}{1}$

चरण 3.3.9.2.4

$- 2 \sin (4 x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) - 2 \sin (4 x)$

चरण 3.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$4 \cos (2 x) \sin (2 x) - 2 \sin (4 x)$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = 4 \cos (2 x) \sin (2 x) - 2 \sin (4 x)$

चरण 5

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = 4 \cos (2 x) \sin (2 x) - 2 \sin (4 x)$