प्री-कैलकुलस उदाहरण

$p (x) = - \frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x - 1$

चरण 1

x- अंत:खंड ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

x- अंत:खंड(अंत:खंडों) को ज्ञात करने के लिए, $0$ में $y$ को प्रतिस्थापित करें और $x$ को हल करें.

$0 = - \frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x - 1$

चरण 1.2

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

समीकरण को $- \frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x - 1 = 0$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x - 1 = 0$

चरण 1.2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

$x^{3}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{x^{3}}{2} + \frac{3}{2} x - 1 = 0$

चरण 1.2.2.2

$\frac{3}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$- \frac{x^{3}}{2} + \frac{3 x}{2} - 1 = 0$

चरण 1.2.3

भिन्नों को हटाने के लिए $- \frac{x^{3}}{2} + \frac{3 x}{2} - 1 = 0$ के प्रत्येक पद को $2$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$- \frac{x^{3}}{2} + \frac{3 x}{2} - 1 = 0$ के प्रत्येक पद को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{x^{3}}{2} \cdot 2 + \frac{3 x}{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 0 \cdot 2$

चरण 1.2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1.1.1

$- \frac{x^{3}}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{- x^{3}}{2} \cdot 2 + \frac{3 x}{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 0 \cdot 2$

चरण 1.2.3.2.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- x^{3}}{2} \cdot 2 + \frac{3 x}{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 0 \cdot 2$

चरण 1.2.3.2.1.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- x^{3} + \frac{3 x}{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 0 \cdot 2$

चरण 1.2.3.2.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- x^{3} + \frac{3 x}{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 0 \cdot 2$

चरण 1.2.3.2.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- x^{3} + 3 x - 1 \cdot 2 = 0 \cdot 2$

चरण 1.2.3.2.1.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- x^{3} + 3 x - 2 = 0 \cdot 2$

चरण 1.2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.3.1

$0$ को $2$ से गुणा करें.

$- x^{3} + 3 x - 2 = 0$

चरण 1.2.4

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$- x^{3} + 3 x - 2$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1.1

$- x^{3}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (x^{3}) + 3 x - 2 = 0$

चरण 1.2.4.1.2

$3 x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (x^{3}) - (- 3 x) - 2 = 0$

चरण 1.2.4.1.3

$- 2$ को $- 1 (2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$- (x^{3}) - (- 3 x) - 1 \cdot 2 = 0$

चरण 1.2.4.1.4

$- (x^{3}) - (- 3 x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (x^{3} - 3 x) - 1 \cdot 2 = 0$

चरण 1.2.4.1.5

$- (x^{3} - 3 x) - 1 (2)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (x^{3} - 3 x + 2) = 0$

चरण 1.2.4.2

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $x^{3} - 3 x + 2$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

चरण 1.2.4.2.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 2$

चरण 1.2.4.2.3

$1$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $1$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.3.1

$1$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$1^{3} - 3 \cdot 1 + 2$

चरण 1.2.4.2.3.2

$1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 - 3 \cdot 1 + 2$

चरण 1.2.4.2.3.3

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$1 - 3 + 2$

चरण 1.2.4.2.3.4

$1$ में से $3$ घटाएं.

$- 2 + 2$

चरण 1.2.4.2.3.5

$- 2$ और $2$ जोड़ें.

$0$

चरण 1.2.4.2.4

चूँकि $1$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x - 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} - 3 x + 2}{x - 1}$

चरण 1.2.4.2.5

$x^{3} - 3 x + 2$ को $x - 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

चरण 1.2.4.2.5.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$

चरण 1.2.4.2.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

चरण 1.2.4.2.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} - x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

चरण 1.2.4.2.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

चरण 1.2.4.2.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

चरण 1.2.4.2.5.7

भाज्य $x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

चरण 1.2.4.2.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

चरण 1.2.4.2.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{2} - x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

चरण 1.2.4.2.5.10

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$

चरण 1.2.4.2.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$

चरण 1.2.4.2.5.12

भाज्य $- 2 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$

चरण 1.2.4.2.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

चरण 1.2.4.2.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 2 x + 2$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

चरण 1.2.4.2.5.15

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$
										$0$

चरण 1.2.4.2.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} + x - 2$

चरण 1.2.4.2.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{3} - 3 x + 2$ लिखें.

$- ((x - 1) (x^{2} + x - 2)) = 0$

चरण 1.2.4.3

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} + x - 2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.3.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} + x - 2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.3.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 2$ है और जिसका योग $1$ है.

$- 1, 2$

चरण 1.2.4.3.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$- ((x - 1) ((x - 1) (x + 2))) = 0$

चरण 1.2.4.3.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$- ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

चरण 1.2.4.4

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.4.1

समान गुणनखंडों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.4.1.1

$x - 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

चरण 1.2.4.4.1.2

$x - 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

चरण 1.2.4.4.1.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- ({(x - 1)}^{1 + 1} (x + 2)) = 0$

चरण 1.2.4.4.1.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- ({(x - 1)}^{2} (x + 2)) = 0$

चरण 1.2.4.4.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$- {(x - 1)}^{2} (x + 2) = 0$

चरण 1.2.5

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x + 2 = 0$

चरण 1.2.6

${(x - 1)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

${(x - 1)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

${(x - 1)}^{2} = 0$

चरण 1.2.6.2

$x$ के लिए ${(x - 1)}^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.1

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 1 = 0$

चरण 1.2.6.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x = 1$

चरण 1.2.7

$x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.1

$x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 2 = 0$

चरण 1.2.7.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$x = - 2$

चरण 1.2.8

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $- {(x - 1)}^{2} (x + 2) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 1, - 2$

चरण 1.3

x- अंत:खंड(अंत:खंडों) एक बिन्दु के रूप में.

x- अंत:खंड(अंत:खंडों): $(1, 0), (- 2, 0)$

चरण 2

y- अंत:खंड पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

y- अंत:खंड (ओं) को ज्ञात करने के लिए, $0$ में $x$ को प्रतिस्थापित करें और $y$ को हल करें.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$

चरण 2.2

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = - \frac{1}{2} \cdot 0^{3} + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$

चरण 2.2.2

$\frac{3}{2}$ को $0$ से गुणा करें.

$y = - \frac{1}{2} \cdot 0^{3} + \frac{3}{2} \cdot 0 - 1$

चरण 2.2.3

कोष्ठक हटा दें.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$

चरण 2.2.4

$- \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$y = - \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$

चरण 2.2.4.1.2

$- \frac{1}{2} \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1.2.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = 0 (\frac{1}{2}) + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$

चरण 2.2.4.1.2.2

$0$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$y = 0 + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$

चरण 2.2.4.1.3

$\frac{3}{2}$ को $0$ से गुणा करें.

$y = 0 + 0 - 1$

चरण 2.2.4.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.2.1

$0$ और $0$ जोड़ें.

$y = 0 - 1$

चरण 2.2.4.2.2

$0$ में से $1$ घटाएं.

$y = - 1$

चरण 2.3

y- अंत:खंड(अंत:खंडों) एक बिन्दु के रूप में.

y- अंत:खंड(अंत:खंडों): $(0, - 1)$

चरण 3

प्रतिच्छेदनों को सूचीबद्ध करें.

x- अंत:खंड(अंत:खंडों): $(1, 0), (- 2, 0)$

y- अंत:खंड(अंत:खंडों): $(0, - 1)$

चरण 4