प्री-कैलकुलस उदाहरण

$y = h (x)$

चरण 1

अतिपरवलय का मानक रूप पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चर वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाएँ.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से

$h (x)$ घटाएं.

$y - h x = 0$

चरण 1.1.2

$y$ और

$- h x$ को पुन: क्रमित करें.

$- h x + y = 0$

चरण 1.2

प्रत्येक पद को

$0$ से विभाजित करके दाईं भुजा को एक के बराबर करें.

$- \frac{h x}{0} + \frac{y}{0} = \frac{0}{0}$

चरण 1.3

दाईं ओर

$1$ के बराबर सेट करने के लिए समीकरण में प्रत्येक पद को सरल करें. दीर्घवृत्त या अतिपरवलय के मानक रूप के लिए समीकरण के दाएं पक्ष की ओर

$1$ होना आवश्यक है.

$y - h x = 1$

चरण 2

यह अतिपरवलय का रूप है. अतिपरवलय के शीर्ष और स्पर्शोन्मुख को खोजने के लिए उपयोग किए गए मानों को निर्धारित करने के लिए इस रूप का उपयोग करें.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

चरण 3

इस अतिपरवलय के मान को मानक रूप के मान से सुमेलित कीजिए. चर

$h$ मूल से x- ऑफ़सेट का प्रतिनिधित्व करता है,

$k$ मूल से y- ऑफ़सेट का प्रतिनिधित्व करता है,

$a$ .

$a = 1$

$b = 1$

$k = 0$

$h = 0$

चरण 4

अतिपरवलय का केंद्र

$(h, k)$ के रूप का अनुसरण करता है.

$h$ और

$k$ के मानों को प्रतिस्थापित करें.

$(0, 0)$

चरण 5

$c$ , केंद्र से नाभि तक दूरी पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

निम्न सूत्र का उपयोग करके अतिपरवलय के केंद्र से नाभि तक की दूरी पता करें.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

चरण 5.2

सूत्र में

$a$ और

$b$ के मान प्रतिस्थापित करें.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

चरण 5.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

चरण 5.3.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\sqrt{1 + 1}$

चरण 5.3.3

$1$ और

$1$ जोड़ें.

$\sqrt{2}$

चरण 6

शीर्ष बिंदु को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

अतिपरवलय का पहला शीर्ष

$a$ को

$h$ में जोड़कर पता किया जा सकता है.

$(h + a, k)$

चरण 6.2

$h$ ,

$a$ और

$k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(1, 0)$

चरण 6.3

अतिपरवलय का दूसरा शीर्ष

$a$ को

$h$ से घटाकर पता किया जा सकता है.

$(h - a, k)$

चरण 6.4

$h$ ,

$a$ और

$k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(- 1, 0)$

चरण 6.5

अतिपरवलय के शीर्ष

$(h \pm a, k)$ के रूप का अनुसरण करते हैं. अतिपरवलय के दो शीर्ष होते हैं.

$(1, 0), (- 1, 0)$

चरण 7

नाभियाँ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

अतिपरवलय का पहला फोकस

$c$ को

$h$ में जोड़कर पता किया जा सकता है.

$(h + c, k)$

चरण 7.2

$h$ ,

$c$ और

$k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(\sqrt{2}, 0)$

चरण 7.3

अतिपरवलय का दूसरा फोकस

$c$ को

$h$ से घटाकर पता किया जा सकता है.

$(h - c, k)$

चरण 7.4

$h$ ,

$c$ और

$k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(- \sqrt{2}, 0)$

चरण 7.5

अतिपरवलय का फोकस

$(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ के रूप का अनुसरण करता है. अतिपरवलयों के दो फोकस होते हैं.

$(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)$

चरण 8

उत्केंद्रता पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके उत्केंद्रता ज्ञात करें.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

चरण 8.2

सूत्र में

$a$ और

$b$ के मानों को प्रतिस्थापित करें.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}}{1}$

चरण 8.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$ को

$1$ से विभाजित करें.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

चरण 8.3.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

चरण 8.3.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\sqrt{1 + 1}$

चरण 8.3.4

$1$ और

$1$ जोड़ें.

$\sqrt{2}$

चरण 9

नाभीय मानदंड पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

निम्न सूत्र का उपयोग करके अतिपरवलय के फोकल पैरामीटर का मान पता करें.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

चरण 9.2

सूत्र में

$b$ और

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ के मान प्रतिस्थापित करें.

$\frac{1^{2}}{\sqrt{2}}$

चरण 9.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

चरण 9.3.2

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ को

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

चरण 9.3.3

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.3.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ को

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

चरण 9.3.3.2

$\sqrt{2}$ को

$1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

चरण 9.3.3.3

$\sqrt{2}$ को

$1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

चरण 9.3.3.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

चरण 9.3.3.5

$1$ और

$1$ जोड़ें.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

चरण 9.3.3.6

${\sqrt{2}}^{2}$ को

$2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.3.6.1

$\sqrt{2}$ को

$2^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 9.3.3.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 9.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ और

$2$ को मिलाएं.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

चरण 9.3.3.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.3.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

चरण 9.3.3.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

चरण 9.3.3.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 10

स्पर्शोन्मुख

$y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ रूप का अनुसरण करते हैं क्योंकि यह अतिपरवलय बाएँ और दाएँ खुलता है.

$y = \pm 1 \cdot x + 0$

चरण 11

$1 \cdot x + 0$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$1 \cdot x$ और

$0$ जोड़ें.

$y = 1 \cdot x$

चरण 11.2

$x$ को

$1$ से गुणा करें.

$y = x$

चरण 12

$- 1 \cdot x + 0$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$- 1 \cdot x$ और

$0$ जोड़ें.

$y = - 1 \cdot x$

चरण 12.2

$- 1 x$ को

$- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = - x$

चरण 13

इस अतिपरवलय में दो स्पर्शोन्मुख होते हैं.

$y = x, y = - x$

चरण 14

ये मान अतिपरवलय के ग्राफ और विश्लेषण के लिए महत्वपूर्ण मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं.

केंद्र:

$(0, 0)$

शीर्ष:

$(1, 0), (- 1, 0)$

फ़ॉसी:

$(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)$

उत्क्रेंद्रता:

$\sqrt{2}$

फोकल पैरामीटर:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

अनंतस्पर्शी:

$y = x$ ,

$y = - x$

चरण 15