प्री-कैलकुलस उदाहरण

$64 y^{2} - 25 x^{2} = 1600$

चरण 1

अतिपरवलय का मानक रूप पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

प्रत्येक पद को $1600$ से विभाजित करके दाईं भुजा को एक के बराबर करें.

$\frac{64 y^{2}}{1600} - \frac{25 x^{2}}{1600} = \frac{1600}{1600}$

चरण 1.2

दाईं ओर $1$ के बराबर सेट करने के लिए समीकरण में प्रत्येक पद को सरल करें. दीर्घवृत्त या अतिपरवलय के मानक रूप के लिए समीकरण के दाएं पक्ष की ओर $1$ होना आवश्यक है.

$\frac{y^{2}}{25} - \frac{x^{2}}{64} = 1$

चरण 2

यह अतिपरवलय का रूप है. अतिपरवलय के शीर्ष और स्पर्शोन्मुख को खोजने के लिए उपयोग किए गए मानों को निर्धारित करने के लिए इस रूप का उपयोग करें.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

चरण 3

इस अतिपरवलय के मान को मानक रूप के मान से सुमेलित कीजिए. चर $h$ मूल से x- ऑफ़सेट का प्रतिनिधित्व करता है, $k$ मूल से y- ऑफ़सेट का प्रतिनिधित्व करता है, $a$ .

$a = 5$

$b = 8$

$k = 0$

$h = 0$

चरण 4

अतिपरवलय का केंद्र $(h, k)$ के रूप का अनुसरण करता है. $h$ और $k$ के मानों को प्रतिस्थापित करें.

$(0, 0)$

चरण 5

$c$ , केंद्र से नाभि तक दूरी पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

निम्न सूत्र का उपयोग करके अतिपरवलय के केंद्र से नाभि तक की दूरी पता करें.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

चरण 5.2

सूत्र में $a$ और $b$ के मान प्रतिस्थापित करें.

$\sqrt{{(5)}^{2} + {(8)}^{2}}$

चरण 5.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sqrt{25 + {(8)}^{2}}$

चरण 5.3.2

$8$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sqrt{25 + 64}$

चरण 5.3.3

$25$ और $64$ जोड़ें.

$\sqrt{89}$

चरण 6

शीर्ष बिंदु को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

अतिपरवलय का पहला शीर्ष $a$ को $k$ में जोड़कर पता किया जा सकता है.

$(h, k + a)$

चरण 6.2

$h$ , $a$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(0, 5)$

चरण 6.3

अतिपरवलय का दूसरा शीर्ष $a$ को $k$ से घटाकर पता किया जा सकता है.

$(h, k - a)$

चरण 6.4

$h$ , $a$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(0, - 5)$

चरण 6.5

अतिपरवलय के शीर्ष $(h, k \pm a)$ के रूप का अनुसरण करते हैं. अतिपरवलय के दो शीर्ष होते हैं.

$(0, 5), (0, - 5)$

चरण 7

नाभियाँ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

अतिपरवलय का पहला फोकस $c$ को $k$ में जोड़कर पता किया जा सकता है.

$(h, k + c)$

चरण 7.2

$h$ , $c$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(0, \sqrt{89})$

चरण 7.3

अतिपरवलय का दूसरा फोकस $c$ को $k$ से घटाकर पता किया जा सकता है.

$(h, k - c)$

चरण 7.4

$h$ , $c$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(0, - \sqrt{89})$

चरण 7.5

अतिपरवलय का फोकस $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ के रूप का अनुसरण करता है. अतिपरवलयों के दो फोकस होते हैं.

$(0, \sqrt{89}), (0, - \sqrt{89})$

चरण 8

उत्केंद्रता पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके उत्केंद्रता ज्ञात करें.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

चरण 8.2

सूत्र में $a$ और $b$ के मानों को प्रतिस्थापित करें.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} + {(8)}^{2}}}{5}$

चरण 8.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\sqrt{25 + 8^{2}}}{5}$

चरण 8.3.2

$8$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\sqrt{25 + 64}}{5}$

चरण 8.3.3

$25$ और $64$ जोड़ें.

$\frac{\sqrt{89}}{5}$

चरण 9

नाभीय मानदंड पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

निम्न सूत्र का उपयोग करके अतिपरवलय के फोकल पैरामीटर का मान पता करें.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

चरण 9.2

सूत्र में $b$ और $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ के मान प्रतिस्थापित करें.

$\frac{8^{2}}{\sqrt{89}}$

चरण 9.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$8$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{64}{\sqrt{89}}$

चरण 9.3.2

$\frac{64}{\sqrt{89}}$ को $\frac{\sqrt{89}}{\sqrt{89}}$ से गुणा करें.

$\frac{64}{\sqrt{89}} \cdot \frac{\sqrt{89}}{\sqrt{89}}$

चरण 9.3.3

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.3.1

$\frac{64}{\sqrt{89}}$ को $\frac{\sqrt{89}}{\sqrt{89}}$ से गुणा करें.

$\frac{64 \sqrt{89}}{\sqrt{89} \sqrt{89}}$

चरण 9.3.3.2

$\sqrt{89}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{64 \sqrt{89}}{{\sqrt{89}}^{1} \sqrt{89}}$

चरण 9.3.3.3

$\sqrt{89}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{64 \sqrt{89}}{{\sqrt{89}}^{1} {\sqrt{89}}^{1}}$

चरण 9.3.3.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{64 \sqrt{89}}{{\sqrt{89}}^{1 + 1}}$

चरण 9.3.3.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{64 \sqrt{89}}{{\sqrt{89}}^{2}}$

चरण 9.3.3.6

${\sqrt{89}}^{2}$ को $89$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.3.6.1

$\sqrt{89}$ को $89^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{64 \sqrt{89}}{{(89^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 9.3.3.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{64 \sqrt{89}}{89^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 9.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{64 \sqrt{89}}{89^{\frac{2}{2}}}$

चरण 9.3.3.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.3.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{64 \sqrt{89}}{89^{\frac{2}{2}}}$

चरण 9.3.3.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{64 \sqrt{89}}{89^{1}}$

चरण 9.3.3.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\frac{64 \sqrt{89}}{89}$

चरण 10

स्पर्शोन्मुख रूप $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ का अनुसरण करते हैं क्योंकि यह अतिपरवलय ऊपर और नीचे खुलता है.

$y = \pm \frac{5}{8} x + 0$

चरण 11

$\frac{5}{8} x + 0$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$\frac{5}{8} x$ और $0$ जोड़ें.

$y = \frac{5}{8} x$

चरण 11.2

$\frac{5}{8}$ और $x$ को मिलाएं.

$y = \frac{5 x}{8}$

चरण 12

$- \frac{5}{8} x + 0$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$- \frac{5}{8} x$ और $0$ जोड़ें.

$y = - \frac{5}{8} x$

चरण 12.2

$x$ और $\frac{5}{8}$ को मिलाएं.

$y = - \frac{x \cdot 5}{8}$

चरण 12.3

$5$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = - \frac{5 x}{8}$

चरण 13

इस अतिपरवलय में दो स्पर्शोन्मुख होते हैं.

$y = \frac{5 x}{8}, y = - \frac{5 x}{8}$

चरण 14

ये मान अतिपरवलय के ग्राफ और विश्लेषण के लिए महत्वपूर्ण मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं.

केंद्र: $(0, 0)$

शीर्ष: $(0, 5), (0, - 5)$

फ़ॉसी: $(0, \sqrt{89}), (0, - \sqrt{89})$

उत्क्रेंद्रता: $\frac{\sqrt{89}}{5}$

फोकल पैरामीटर: $\frac{64 \sqrt{89}}{89}$

अनंतस्पर्शी: $y = \frac{5 x}{8}$ , $y = - \frac{5 x}{8}$

चरण 15