प्री-कैलकुलस उदाहरण

$3 \log_{x} (3) + 4 \log_{x} (2) - \log_{x} (54) = 3$

चरण 1

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$3 \log_{x} (3) + 4 \log_{x} (2) - \log_{x} (54) = 3$

चरण 2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$3 \log_{x} (3) + 4 \log_{x} (2) - \log_{x} (54)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

$3$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $3 \log_{x} (3)$ को सरल करें.

$\log_{x} (3^{3}) + 4 \log_{x} (2) - \log_{x} (54) = 3$

चरण 2.1.1.2

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\log_{x} (27) + 4 \log_{x} (2) - \log_{x} (54) = 3$

चरण 2.1.1.3

$4$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $4 \log_{x} (2)$ को सरल करें.

$\log_{x} (27) + \log_{x} (2^{4}) - \log_{x} (54) = 3$

चरण 2.1.1.4

$2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$\log_{x} (27) + \log_{x} (16) - \log_{x} (54) = 3$

चरण 2.1.2

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$\log_{x} (27 \cdot 16) - \log_{x} (54) = 3$

चरण 2.1.3

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\log_{x} (\frac{27 \cdot 16}{54}) = 3$

चरण 2.1.4

$27$ और $54$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1

$27 \cdot 16$ में से $27$ का गुणनखंड करें.

$\log_{x} (\frac{27 (16)}{54}) = 3$

चरण 2.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.2.1

$54$ में से $27$ का गुणनखंड करें.

$\log_{x} (\frac{27 \cdot 16}{27 \cdot 2}) = 3$

चरण 2.1.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\log_{x} (\frac{27 \cdot 16}{27 \cdot 2}) = 3$

चरण 2.1.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\log_{x} (\frac{16}{2}) = 3$

चरण 2.1.5

$16$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.5.1

$16$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\log_{x} (\frac{2 \cdot 8}{2}) = 3$

चरण 2.1.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.5.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\log_{x} (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)}) = 3$

चरण 2.1.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\log_{x} (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}) = 3$

चरण 2.1.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\log_{x} (\frac{8}{1}) = 3$

चरण 2.1.5.2.4

$8$ को $1$ से विभाजित करें.

$\log_{x} (8) = 3$

चरण 3

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\log_{x} (8) = 3$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$x^{3} = 8$

चरण 4

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $8$ घटाएं.

$x^{3} - 8 = 0$

चरण 4.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$8$ को $2^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{3} - 2^{3} = 0$

चरण 4.2.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण घन हैं, घन सूत्र के अंतर का उपयोग करने वाले गुणनखंड $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ जहाँ $a = x$ और $b = 2$ हैं.

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

चरण 4.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

चरण 4.2.3.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

चरण 4.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

चरण 4.4

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 2 = 0$

चरण 4.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$x = 2$

चरण 4.5

$x^{2} + 2 x + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$x^{2} + 2 x + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

चरण 4.5.2

$x$ के लिए $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.2.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 4.5.2.2

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = 2$ और $c = 4$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.5.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.2.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.2.3.1.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.2.3.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.5.2.3.1.2.2

$- 4$ को $4$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.5.2.3.1.3

$4$ में से $16$ घटाएं.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.5.2.3.1.4

$- 12$ को $- 1 (12)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.5.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.5.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.5.2.3.1.7

$12$ को $2^{2} \cdot 3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.2.3.1.7.1

$12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.5.2.3.1.7.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.5.2.3.1.8

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

चरण 4.5.2.3.1.9

$2$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.5.2.3.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

चरण 4.5.2.3.3

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ को सरल करें.

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

चरण 4.5.2.4

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

चरण 4.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$