प्री-कैलकुलस उदाहरण

$e^{4 x} - 6 e^{2 x} = 16$

चरण 1

$e^{4 x}$ को घातांक के रूप में फिर से लिखें.

${(e^{x})}^{4} - 6 e^{2 x} = 16$

चरण 2

$e^{2 x}$ को घातांक के रूप में फिर से लिखें.

${(e^{x})}^{4} - 6 {(e^{x})}^{2} = 16$

चरण 3

$u$ को $e^{x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$u^{4} - 6 u^{2} = 16$

चरण 4

$u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $16$ घटाएं.

$u^{4} - 6 u^{2} - 16 = 0$

चरण 4.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$u^{4}$ को ${(u^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

${(u^{2})}^{2} - 6 u^{2} - 16 = 0$

चरण 4.2.2

मान लीजिए $u = u^{2}$ . $u^{2}$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$u^{2} - 6 u - 16 = 0$

चरण 4.2.3

AC विधि का उपयोग करके $u^{2} - 6 u - 16$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 16$ है और जिसका योग $- 6$ है.

$- 8, 2$

चरण 4.2.3.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(u - 8) (u + 2) = 0$

चरण 4.2.4

$u$ की सभी घटनाओं को $u^{2}$ से बदलें.

$(u^{2} - 8) (u^{2} + 2) = 0$

चरण 4.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$u^{2} - 8 = 0$

$u^{2} + 2 = 0$

चरण 4.4

$u^{2} - 8$ को $0$ के बराबर सेट करें और $u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

$u^{2} - 8$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$u^{2} - 8 = 0$

चरण 4.4.2

$u$ के लिए $u^{2} - 8 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $8$ जोड़ें.

$u^{2} = 8$

चरण 4.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{8}$

चरण 4.4.2.3

$\pm \sqrt{8}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.2.3.1

$8$ को $2^{2} \cdot 2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.2.3.1.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$u = \pm \sqrt{4 (2)}$

चरण 4.4.2.3.1.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$u = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

चरण 4.4.2.3.2

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$u = \pm 2 \sqrt{2}$

चरण 4.4.2.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.2.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$u = 2 \sqrt{2}$

चरण 4.4.2.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$u = - 2 \sqrt{2}$

चरण 4.4.2.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$u = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

चरण 4.5

$u^{2} + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$u^{2} + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$u^{2} + 2 = 0$

चरण 4.5.2

$u$ के लिए $u^{2} + 2 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$u^{2} = - 2$

चरण 4.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{- 2}$

चरण 4.5.2.3

$\pm \sqrt{- 2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.2.3.1

$- 2$ को $- 1 (2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$u = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

चरण 4.5.2.3.2

$\sqrt{- 1 (2)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$u = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

चरण 4.5.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$u = \pm i \sqrt{2}$

चरण 4.5.2.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.2.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$u = i \sqrt{2}$

चरण 4.5.2.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$u = - i \sqrt{2}$

चरण 4.5.2.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$u = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

चरण 4.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(u^{2} - 8) (u^{2} + 2) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$u = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

चरण 5

$u$ के लिए $u = e^{x}$ में $2 \sqrt{2}$ को प्रतिस्थापित करें.

$2 \sqrt{2} = e^{x}$

चरण 6

$2 \sqrt{2} = e^{x}$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समीकरण को $e^{x} = 2 \sqrt{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{x} = 2 \sqrt{2}$

चरण 6.2

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{x}) = \ln (2 \sqrt{2})$

चरण 6.3

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{x})$ का प्रसार करें.

$x \ln (e) = \ln (2 \sqrt{2})$

चरण 6.3.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$x \cdot 1 = \ln (2 \sqrt{2})$

चरण 6.3.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \ln (2 \sqrt{2})$

चरण 7

$u$ के लिए $u = e^{x}$ में $- 2 \sqrt{2}$ को प्रतिस्थापित करें.

$- 2 \sqrt{2} = e^{x}$

चरण 8

$- 2 \sqrt{2} = e^{x}$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

समीकरण को $e^{x} = - 2 \sqrt{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{x} = - 2 \sqrt{2}$

चरण 8.2

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 2 \sqrt{2})$

चरण 8.3

समीकरण हल नहीं किया जा सकता क्योंकि $\ln (- 2 \sqrt{2})$ अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 8.4

$e^{x} = - 2 \sqrt{2}$ का कोई हल नहीं है

कोई हल नहीं

चरण 9

$u$ के लिए $u = e^{x}$ में $i \sqrt{2}$ को प्रतिस्थापित करें.

$i \sqrt{2} = e^{x}$

चरण 10

$i \sqrt{2} = e^{x}$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

समीकरण को $e^{x} = i \sqrt{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{x} = i \sqrt{2}$

चरण 10.2

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{x}) = \ln (i \sqrt{2})$

चरण 10.3

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.1

$x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{x})$ का प्रसार करें.

$x \ln (e) = \ln (i \sqrt{2})$

चरण 10.3.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$x \cdot 1 = \ln (i \sqrt{2})$

चरण 10.3.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \ln (i \sqrt{2})$

चरण 10.4

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.1

$\ln (i \sqrt{2})$ को $\ln (i) + \ln (\sqrt{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \ln (i) + \ln (\sqrt{2})$

चरण 10.4.2

$\sqrt{2}$ को $2^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$x = \ln (i) + \ln (2^{\frac{1}{2}})$

चरण 10.4.3

$\frac{1}{2}$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (2^{\frac{1}{2}})$ का प्रसार करें.

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (2)$

चरण 10.4.4

$\frac{1}{2}$ और $\ln (2)$ को मिलाएं.

$x = \ln (i) + \frac{\ln (2)}{2}$

चरण 10.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.1.1

$\frac{\ln (2)}{2}$ को $\frac{1}{2} \ln (2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (2)$

चरण 10.5.1.2

$\frac{1}{2}$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $\frac{1}{2} \ln (2)$ को सरल करें.

$x = \ln (i) + \ln (2^{\frac{1}{2}})$

चरण 10.5.2

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$x = \ln (i \cdot 2^{\frac{1}{2}})$

चरण 11

$u$ के लिए $u = e^{x}$ में $- i \sqrt{2}$ को प्रतिस्थापित करें.

$- i \sqrt{2} = e^{x}$

चरण 12

$- i \sqrt{2} = e^{x}$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

समीकरण को $e^{x} = - i \sqrt{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{x} = - i \sqrt{2}$

चरण 12.2

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{x}) = \ln (- i \sqrt{2})$

चरण 12.3

समीकरण हल नहीं किया जा सकता क्योंकि $\ln (- i \sqrt{2})$ अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 12.4

$e^{x} = - i \sqrt{2}$ का कोई हल नहीं है

कोई हल नहीं

चरण 13

उन हलों की सूची बनाइए जो समीकरण को सत्य बनाते हैं.

$x = \ln (2 \sqrt{2}), \ln (i \cdot 2^{\frac{1}{2}})$