प्री-कैलकुलस उदाहरण

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 8 X + 4 = X + 2$

चरण 1

$X$ वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाएँ.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $X$ घटाएं.

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 8 X + 4 - X = 2$

चरण 1.2

$8 X$ में से $X$ घटाएं.

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 4 = 2$

चरण 2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 4 - 2 = 0$

चरण 3

$4$ में से $2$ घटाएं.

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2 = 0$

चरण 4

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3$

चरण 4.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}$

चरण 4.3

$- 2$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $- 2$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$- 2$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$3 {(- 2)}^{3} + 9 {(- 2)}^{2} + 7 \cdot - 2 + 2$

चरण 4.3.2

$- 2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 \cdot - 8 + 9 {(- 2)}^{2} + 7 \cdot - 2 + 2$

चरण 4.3.3

$3$ को $- 8$ से गुणा करें.

$- 24 + 9 {(- 2)}^{2} + 7 \cdot - 2 + 2$

चरण 4.3.4

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 24 + 9 \cdot 4 + 7 \cdot - 2 + 2$

चरण 4.3.5

$9$ को $4$ से गुणा करें.

$- 24 + 36 + 7 \cdot - 2 + 2$

चरण 4.3.6

$- 24$ और $36$ जोड़ें.

$12 + 7 \cdot - 2 + 2$

चरण 4.3.7

$7$ को $- 2$ से गुणा करें.

$12 - 14 + 2$

चरण 4.3.8

$12$ में से $14$ घटाएं.

$- 2 + 2$

चरण 4.3.9

$- 2$ और $2$ जोड़ें.

$0$

चरण 4.4

चूँकि $- 2$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $X + 2$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2}{X + 2}$

चरण 4.5

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2$ को $X + 2$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$X$

$2$

$3 X^{3}$

$9 X^{2}$

$7 X$

$2$

चरण 4.5.2

भाज्य $3 X^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $X$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$3 X^{2}$
	$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$

चरण 4.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$3 X^{2}$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			+	$3 X^{3}$	+	$6 X^{2}$

चरण 4.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $3 X^{3} + 6 X^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$3 X^{2}$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$

चरण 4.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$3 X^{2}$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$

चरण 4.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$3 X^{2}$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$

चरण 4.5.7

भाज्य $3 X^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $X$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$

चरण 4.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					+	$3 X^{2}$	+	$6 X$

चरण 4.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $3 X^{2} + 6 X$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$

चरण 4.5.10

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$

चरण 4.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$

चरण 4.5.12

भाज्य $X$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $X$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$	+	$1$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$

चरण 4.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$	+	$1$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$
							+	$X$	+	$2$

चरण 4.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $X + 2$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$3 X^{2}$	+	$3 X$	+	$1$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$
							-	$X$	-	$2$

चरण 4.5.15

				$3 X^{2}$	+	$3 X$	+	$1$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$
							-	$X$	-	$2$
										$0$

चरण 4.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$3 X^{2} + 3 X + 1$

चरण 4.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2$ लिखें.

$(X + 2) (3 X^{2} + 3 X + 1) = 0$

चरण 5

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$X + 2 = 0$

$3 X^{2} + 3 X + 1 = 0$

चरण 6

$X + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $X$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$X + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$X + 2 = 0$

चरण 6.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$X = - 2$

चरण 7

$3 X^{2} + 3 X + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $X$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$3 X^{2} + 3 X + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$3 X^{2} + 3 X + 1 = 0$

चरण 7.2

$X$ के लिए $3 X^{2} + 3 X + 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 7.2.2

द्विघात सूत्र में $a = 3$ , $b = 3$ और $c = 1$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $X$ के लिए हल करें.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

चरण 7.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1.1

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

चरण 7.2.3.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1.2.1

$- 4$ को $3$ से गुणा करें.

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

चरण 7.2.3.1.2.2

$- 12$ को $1$ से गुणा करें.

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2 \cdot 3}$

चरण 7.2.3.1.3

$9$ में से $12$ घटाएं.

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 3}$

चरण 7.2.3.1.4

$- 3$ को $- 1 (3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

चरण 7.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

चरण 7.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$X = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

चरण 7.2.3.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$X = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{6}$

चरण 7.2.4

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$X = - \frac{3 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{6}$

चरण 8

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(X + 2) (3 X^{2} + 3 X + 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$X = - 2, - \frac{3 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{6}$