प्री-कैलकुलस उदाहरण

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 8 x - 3$

चरण 1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $2 x^{3} - 3 x^{2} - 8 x - 3$ है.

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चरण 1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

चरण 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 3, \pm 1.5$

चरण 1.3

$- 1$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $- 1$ बहुपद का मूल है.

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चरण 1.3.1

$- 1$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$2 {(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} - 8 \cdot - 1 - 3$

चरण 1.3.2

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 \cdot - 1 - 3 {(- 1)}^{2} - 8 \cdot - 1 - 3$

चरण 1.3.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 - 3 {(- 1)}^{2} - 8 \cdot - 1 - 3$

चरण 1.3.4

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 2 - 3 \cdot 1 - 8 \cdot - 1 - 3$

चरण 1.3.5

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2 - 3 - 8 \cdot - 1 - 3$

चरण 1.3.6

$- 2$ में से $3$ घटाएं.

$- 5 - 8 \cdot - 1 - 3$

चरण 1.3.7

$- 8$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 5 + 8 - 3$

चरण 1.3.8

$- 5$ और $8$ जोड़ें.

$3 - 3$

चरण 1.3.9

$3$ में से $3$ घटाएं.

$0$

चरण 1.4

चूँकि $- 1$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x + 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 8 x - 3}{x + 1}$

चरण 1.5

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 8 x - 3$ को $x + 1$ से विभाजित करें.

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चरण 1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$8 x$

$3$

चरण 1.5.2

भाज्य $2 x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$

चरण 1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

चरण 1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $2 x^{3} + 2 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

चरण 1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

चरण 1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$8 x$

चरण 1.5.7

भाज्य $- 5 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$8 x$

चरण 1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$5 x$

चरण 1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 5 x^{2} - 5 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$

चरण 1.5.10

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$

चरण 1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$	-	$3$

चरण 1.5.12

भाज्य $- 3 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$	-	$3$

चरण 1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$	-	$3$
							-	$3 x$	-	$3$

चरण 1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 3 x - 3$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$	-	$3$
							+	$3 x$	+	$3$

चरण 1.5.15

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$	-	$3$
							+	$3 x$	+	$3$
										$0$

चरण 1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$2 x^{2} - 5 x - 3$

चरण 1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $2 x^{3} - 3 x^{2} - 8 x - 3$ लिखें.

$(x + 1) (2 x^{2} - 5 x - 3)$

चरण 2

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

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चरण 2.1

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ है और जिसका योग $b = - 5$ है.

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चरण 2.1.1.1

$- 5 x$ में से $- 5$ का गुणनखंड करें.

$(x + 1) (2 x^{2} - 5 (x) - 3)$

चरण 2.1.1.2

$- 5$ को $1$ जोड़ $- 6$ के रूप में फिर से लिखें

$(x + 1) (2 x^{2} + (1 - 6) x - 3)$

चरण 2.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x + 1) (2 x^{2} + 1 x - 6 x - 3)$

चरण 2.1.1.4

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$(x + 1) (2 x^{2} + x - 6 x - 3)$

चरण 2.1.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$(x + 1) ((2 x^{2} + x) - 6 x - 3)$

चरण 2.1.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$(x + 1) (x (2 x + 1) - 3 (2 x + 1))$

चरण 2.1.3

महत्तम समापवर्तक, $2 x + 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(x + 1) ((2 x + 1) (x - 3))$

चरण 2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(x + 1) (2 x + 1) (x - 3)$