प्री-कैलकुलस उदाहरण

$x^{5} + 3 x^{4} - 25 x^{3} - 79 x^{2} + 100$

चरण 1

पदों को फिर से समूहित करें.

$x^{5} - 25 x^{3} + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

चरण 2

$x^{5} - 25 x^{3}$ में से $x^{3}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x^{5}$ में से $x^{3}$ का गुणनखंड करें.

$x^{3} x^{2} - 25 x^{3} + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

चरण 2.2

$- 25 x^{3}$ में से $x^{3}$ का गुणनखंड करें.

$x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 25 + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

चरण 2.3

$x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 25$ में से $x^{3}$ का गुणनखंड करें.

$x^{3} (x^{2} - 25) + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

चरण 3

$25$ को $5^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{3} (x^{2} - 5^{2}) + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

चरण 4

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 5$ .

$x^{3} ((x + 5) (x - 5)) + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

चरण 4.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

चरण 5

$x^{4}$ को ${(x^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 {(x^{2})}^{2} - 79 x^{2} + 100$

चरण 6

मान लीजिए $u = x^{2}$ . $x^{2}$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 u^{2} - 79 u + 100$

चरण 7

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 3 \cdot 100 = 300$ है और जिसका योग $b = - 79$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$- 79 u$ में से $- 79$ का गुणनखंड करें.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 u^{2} - 79 (u) + 100$

चरण 7.1.2

$- 79$ को $- 4$ जोड़ $- 75$ के रूप में फिर से लिखें

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 u^{2} + (- 4 - 75) u + 100$

चरण 7.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 u^{2} - 4 u - 75 u + 100$

चरण 7.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 u^{2} - 4 u) - 75 u + 100$

चरण 7.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + u (3 u - 4) - 25 (3 u - 4)$

चरण 7.3

महत्तम समापवर्तक, $3 u - 4$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 u - 4) (u - 25)$

चरण 8

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) (x^{2} - 25)$

चरण 9

$25$ को $5^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) (x^{2} - 5^{2})$

चरण 10

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) ((x + 5) (x - 5))$

चरण 10.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) (x + 5) (x - 5)$

चरण 11

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) (x + 5) (x - 5)$ में से $(x + 5) (x - 5)$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$x^{3} (x + 5) (x - 5)$ में से $(x + 5) (x - 5)$ का गुणनखंड करें.

$(x + 5) (x - 5) (x^{3}) + (3 x^{2} - 4) (x + 5) (x - 5)$

चरण 11.2

$(3 x^{2} - 4) (x + 5) (x - 5)$ में से $(x + 5) (x - 5)$ का गुणनखंड करें.

$(x + 5) (x - 5) (x^{3}) + (x + 5) (x - 5) (3 x^{2} - 4)$

चरण 11.3

$(x + 5) (x - 5) (x^{3}) + (x + 5) (x - 5) (3 x^{2} - 4)$ में से $(x + 5) (x - 5)$ का गुणनखंड करें.

$(x + 5) (x - 5) (x^{3} + 3 x^{2} - 4)$

चरण 12

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$x^{3} + 3 x^{2} - 4$ को गुणनखंड रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $x^{3} + 3 x^{2} - 4$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

चरण 12.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

चरण 12.1.1.3

$1$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $1$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1.3.1

$1$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 4$

चरण 12.1.1.3.2

$1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 + 3 \cdot 1^{2} - 4$

चरण 12.1.1.3.3

$1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 + 3 \cdot 1 - 4$

चरण 12.1.1.3.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$1 + 3 - 4$

चरण 12.1.1.3.5

$1$ और $3$ जोड़ें.

$4 - 4$

चरण 12.1.1.3.6

$4$ में से $4$ घटाएं.

$0$

चरण 12.1.1.4

चूँकि $1$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x - 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4}{x - 1}$

चरण 12.1.1.5

$x^{3} + 3 x^{2} - 4$ को $x - 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$4$

चरण 12.1.1.5.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$

चरण 12.1.1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

चरण 12.1.1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} - x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

चरण 12.1.1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

चरण 12.1.1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$

चरण 12.1.1.5.7

भाज्य $4 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$

चरण 12.1.1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$

चरण 12.1.1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $4 x^{2} - 4 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$

चरण 12.1.1.5.10

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$

चरण 12.1.1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$

चरण 12.1.1.5.12

भाज्य $4 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$

चरण 12.1.1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							+	$4 x$	-	$4$

चरण 12.1.1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $4 x - 4$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							-	$4 x$	+	$4$

चरण 12.1.1.5.15

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							-	$4 x$	+	$4$
										$0$

चरण 12.1.1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} + 4 x + 4$

चरण 12.1.1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{3} + 3 x^{2} - 4$ लिखें.

$(x + 5) (x - 5) ((x - 1) (x^{2} + 4 x + 4))$

चरण 12.1.2

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$(x + 5) (x - 5) ((x - 1) (x^{2} + 4 x + 2^{2}))$

चरण 12.1.2.2

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

चरण 12.1.2.3

बहुपद को फिर से लिखें.

$(x + 5) (x - 5) ((x - 1) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}))$

चरण 12.1.2.4

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = x$ और $b = 2$ है.

$(x + 5) (x - 5) ((x - 1) {(x + 2)}^{2})$

चरण 12.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(x + 5) (x - 5) (x - 1) {(x + 2)}^{2}$