प्री-कैलकुलस उदाहरण

$x^{3} + 2 x^{2} - 15 x - 36$

चरण 1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $x^{3} + 2 x^{2} - 15 x - 36$ है.

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चरण 1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

$q = \pm 1$

चरण 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

चरण 1.3

$- 3$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $- 3$ बहुपद का मूल है.

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चरण 1.3.1

$- 3$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

${(- 3)}^{3} + 2 {(- 3)}^{2} - 15 \cdot - 3 - 36$

चरण 1.3.2

$- 3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 27 + 2 {(- 3)}^{2} - 15 \cdot - 3 - 36$

चरण 1.3.3

$- 3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 27 + 2 \cdot 9 - 15 \cdot - 3 - 36$

चरण 1.3.4

$2$ को $9$ से गुणा करें.

$- 27 + 18 - 15 \cdot - 3 - 36$

चरण 1.3.5

$- 27$ और $18$ जोड़ें.

$- 9 - 15 \cdot - 3 - 36$

चरण 1.3.6

$- 15$ को $- 3$ से गुणा करें.

$- 9 + 45 - 36$

चरण 1.3.7

$- 9$ और $45$ जोड़ें.

$36 - 36$

चरण 1.3.8

$36$ में से $36$ घटाएं.

$0$

चरण 1.4

चूँकि $- 3$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x + 3$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 15 x - 36}{x + 3}$

चरण 1.5

$x^{3} + 2 x^{2} - 15 x - 36$ को $x + 3$ से विभाजित करें.

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चरण 1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$3$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$15 x$

$36$

चरण 1.5.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$

चरण 1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

चरण 1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} + 3 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

चरण 1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$

चरण 1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$15 x$

चरण 1.5.7

भाज्य $- x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$15 x$

चरण 1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$15 x$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$

चरण 1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- x^{2} - 3 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$15 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$

चरण 1.5.10

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$15 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$

चरण 1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$15 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$36$

चरण 1.5.12

भाज्य $- 12 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$15 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$36$

चरण 1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$15 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$36$
							-	$12 x$	-	$36$

चरण 1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 12 x - 36$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$15 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$36$
							+	$12 x$	+	$36$

चरण 1.5.15

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$15 x$	-	$36$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$15 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$36$
							+	$12 x$	+	$36$
										$0$

चरण 1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} - x - 12$

चरण 1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{3} + 2 x^{2} - 15 x - 36$ लिखें.

$(x + 3) (x^{2} - x - 12)$

चरण 2

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - x - 12$ का गुणनखंड करें.

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चरण 2.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - x - 12$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 12$ है और जिसका योग $- 1$ है.

$- 4, 3$

चरण 2.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(x + 3) ((x - 4) (x + 3))$

चरण 2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(x + 3) (x - 4) (x + 3)$