प्री-कैलकुलस उदाहरण

$x^{3} - x^{2} - 11 x + 15$

चरण 1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

चरण 2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

चरण 3

$3$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $3$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$3$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$3^{3} - 3^{2} - 11 \cdot 3 + 15$

चरण 3.2

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$27 - 3^{2} - 11 \cdot 3 + 15$

चरण 3.3

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$27 - 1 \cdot 9 - 11 \cdot 3 + 15$

चरण 3.4

$- 1$ को $9$ से गुणा करें.

$27 - 9 - 11 \cdot 3 + 15$

चरण 3.5

$27$ में से $9$ घटाएं.

$18 - 11 \cdot 3 + 15$

चरण 3.6

$- 11$ को $3$ से गुणा करें.

$18 - 33 + 15$

चरण 3.7

$18$ में से $33$ घटाएं.

$- 15 + 15$

चरण 3.8

$- 15$ और $15$ जोड़ें.

$0$

चरण 4

चूँकि $3$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x - 3$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} - x^{2} - 11 x + 15}{x - 3}$

चरण 5

$x^{3} - x^{2} - 11 x + 15$ को $x - 3$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$11 x$

$15$

चरण 5.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$

चरण 5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

चरण 5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} - 3 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

चरण 5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

चरण 5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$11 x$

चरण 5.7

भाज्य $2 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$11 x$

चरण 5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$

चरण 5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $2 x^{2} - 6 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

चरण 5.10

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$

चरण 5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$15$

चरण 5.12

भाज्य $- 5 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$15$

चरण 5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$15$
							-	$5 x$	+	$15$

चरण 5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 5 x + 15$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$15$
							+	$5 x$	-	$15$

चरण 5.15

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$5 x$	+	$15$
							+	$5 x$	-	$15$
										$0$

चरण 5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} + 2 x - 5$

चरण 6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{3} - x^{2} - 11 x + 15$ लिखें.

$(x - 3) (x^{2} + 2 x - 5)$