प्री-कैलकुलस उदाहरण

$x^{2} (x - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

चरण 1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x^{2} x + x^{2} \cdot - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

चरण 2

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$(x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

चरण 2.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$(x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

चरण 2.2

$2$ और $1$ जोड़ें.

$(x^{3} + x^{2} \cdot - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

चरण 3

$- 2$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$(x^{3} - 2 x^{2}) (x + 2) + 3 x + 6$

चरण 4

FOIL विधि का उपयोग करके $(x^{3} - 2 x^{2}) (x + 2)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{3} (x + 2) - 2 x^{2} (x + 2) + 3 x + 6$

चरण 4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{3} x + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} (x + 2) + 3 x + 6$

चरण 4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{3} x + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

चरण 5

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

घातांक जोड़कर $x^{3}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.1

$x^{3}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x^{3} x^{1} + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

चरण 5.1.1.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x^{3 + 1} + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

चरण 5.1.1.2

$3$ और $1$ जोड़ें.

$x^{4} + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

चरण 5.1.2

$2$ को $x^{3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

चरण 5.1.3

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1

$x$ ले जाएं.

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

चरण 5.1.3.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

चरण 5.1.3.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

चरण 5.1.3.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

चरण 5.1.4

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x + 6$

चरण 5.2

$2 x^{3}$ में से $2 x^{3}$ घटाएं.

$x^{4} + 0 - 4 x^{2} + 3 x + 6$

चरण 5.3

$x^{4}$ और $0$ जोड़ें.

$x^{4} - 4 x^{2} + 3 x + 6$

चरण 6

$x^{4} - 4 x^{2} + 3 x + 6$ को गुणनखंड रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x^{4} - 4 x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$x^{4}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} x^{2} - 4 x^{2} + 3 x + 6$

चरण 6.1.2

$- 4 x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 + 3 x + 6$

चरण 6.1.3

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} (x^{2} - 4) + 3 x + 6$

चरण 6.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{2} (x^{2} - 2^{2}) + 3 x + 6$

चरण 6.3

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 2$ .

$x^{2} ((x + 2) (x - 2)) + 3 x + 6$

चरण 6.3.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 x + 6$

चरण 6.4

$3 x + 6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

$3 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 (x) + 6$

चरण 6.4.2

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 x + 3 \cdot 2$

चरण 6.4.3

$3 x + 3 \cdot 2$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 (x + 2)$

चरण 6.5

$x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 (x + 2)$ में से $x + 2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

$x^{2} (x + 2) (x - 2)$ में से $x + 2$ का गुणनखंड करें.

$(x + 2) (x^{2} (x - 2)) + 3 (x + 2)$

चरण 6.5.2

$3 (x + 2)$ में से $x + 2$ का गुणनखंड करें.

$(x + 2) (x^{2} (x - 2)) + (x + 2) \cdot 3$

चरण 6.5.3

$(x + 2) (x^{2} (x - 2)) + (x + 2) \cdot 3$ में से $x + 2$ का गुणनखंड करें.

$(x + 2) (x^{2} (x - 2) + 3)$

चरण 6.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x + 2) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 3)$

चरण 6.7

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.1

$x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$(x + 2) (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 2 + 3)$

चरण 6.7.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$(x + 2) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 2 + 3)$

चरण 6.7.2

$2$ और $1$ जोड़ें.

$(x + 2) (x^{3} + x^{2} \cdot - 2 + 3)$

चरण 6.8

$- 2$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 3)$

चरण 6.9

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.9.1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $x^{3} - 2 x^{2} + 3$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.9.1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

चरण 6.9.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 3$

चरण 6.9.1.3

$- 1$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $- 1$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.9.1.3.1

$- 1$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

${(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 3$

चरण 6.9.1.3.2

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 1 - 2 {(- 1)}^{2} + 3$

चरण 6.9.1.3.3

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 1 - 2 \cdot 1 + 3$

चरण 6.9.1.3.4

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1 - 2 + 3$

चरण 6.9.1.3.5

$- 1$ में से $2$ घटाएं.

$- 3 + 3$

चरण 6.9.1.3.6

$- 3$ और $3$ जोड़ें.

$0$

चरण 6.9.1.4

चूँकि $- 1$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x + 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 3}{x + 1}$

चरण 6.9.1.5

$x^{3} - 2 x^{2} + 3$ को $x + 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.9.1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

चरण 6.9.1.5.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$

चरण 6.9.1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

चरण 6.9.1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} + x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

चरण 6.9.1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

चरण 6.9.1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

चरण 6.9.1.5.7

भाज्य $- 3 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

चरण 6.9.1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$

चरण 6.9.1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 3 x^{2} - 3 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

चरण 6.9.1.5.10

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$

चरण 6.9.1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$

चरण 6.9.1.5.12

भाज्य $3 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$

चरण 6.9.1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$
							+	$3 x$	+	$3$

चरण 6.9.1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $3 x + 3$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$
							-	$3 x$	-	$3$

चरण 6.9.1.5.15

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$
							-	$3 x$	-	$3$
										$0$

चरण 6.9.1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} - 3 x + 3$

चरण 6.9.1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{3} - 2 x^{2} + 3$ लिखें.

$(x + 2) ((x + 1) (x^{2} - 3 x + 3))$

चरण 6.9.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(x + 2) (x + 1) (x^{2} - 3 x + 3)$