प्री-कैलकुलस उदाहरण

$\csc^{2} (x) - 1 = 0$ , $(0, 2 π)$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$\csc^{2} (x) = 1$

चरण 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\csc (x) = \pm \sqrt{1}$

चरण 3

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$\csc (x) = \pm 1$

चरण 4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$\csc (x) = 1$

चरण 4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$\csc (x) = - 1$

चरण 4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$\csc (x) = 1, - 1$

चरण 5

$x$ को हल करने के लिए प्रत्येक हल सेट करें.

$\csc (x) = 1$

$\csc (x) = - 1$

चरण 6

$x$ के लिए $\csc (x) = 1$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्युत्क्रमज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का व्युत्क्रम व्युत्क्रमज्या लें.

$x = arccsc (1)$

चरण 6.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$arccsc (1)$ का सटीक मान $\frac{π}{2}$ है.

$x = \frac{π}{2}$

चरण 6.3

पहले और दूसरे चतुर्थांश में व्युत्क्रमज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल ज्ञात करने के लिए, दूसरे चतुर्थांश में हल ज्ञात करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$x = π - \frac{π}{2}$

चरण 6.4

$π - \frac{π}{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

$π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 6.4.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.1

$π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 6.4.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

चरण 6.4.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.3.1

$2$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

चरण 6.4.3.2

$2 π$ में से $π$ घटाएं.

$x = \frac{π}{2}$

चरण 6.5

$\csc (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 6.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 6.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 6.5.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 6.6

$\csc (x)$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 7

$x$ के लिए $\csc (x) = - 1$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$x = arccsc (- 1)$

चरण 7.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$arccsc (- 1)$ का सटीक मान $- \frac{π}{2}$ है.

$x = - \frac{π}{2}$

चरण 7.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

चरण 7.4

दूसरा हल निकालने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ में से $2 π$ घटाएं.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

चरण 7.4.2

$\frac{3 π}{2}$ का परिणामी कोण धनात्मक है, $2 π$ से कम है और $2 π + \frac{π}{2} + π$ के साथ कोटरमिनल है.

$x = \frac{3 π}{2}$

चरण 7.5

$\csc (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 7.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 7.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 7.5.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 7.6

धनात्मक कोण प्राप्त करने के लिए प्रत्येक ऋणात्मक कोण में $2 π$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.6.1

धनात्मक कोण ज्ञात करने के लिए $2 π$ को $- \frac{π}{2}$ में जोड़ें.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

चरण 7.6.2

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 7.6.3

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.6.3.1

$2 π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 7.6.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

चरण 7.6.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.6.4.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{4 π - π}{2}$

चरण 7.6.4.2

$4 π$ में से $π$ घटाएं.

$\frac{3 π}{2}$

चरण 7.6.5

नए कोणों की सूची बनाएंं.

$x = \frac{3 π}{2}$

चरण 7.7

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 8

सभी हलों की सूची बनाएंं.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 9

उत्तरों को समेकित करें.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 10

$n$ के वे मान ज्ञात करें जो अंतराल $(0, 2 π)$ के भीतर एक मान उत्पन्न करते हैं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$n$ के लिए $0$ प्लग इन करें और यह देखने के लिए सरल करें कि हल $(0, 2 π)$ में है या नहीं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

$n$ के लिए $0$ प्लग इन करें.

$\frac{π}{2} + π (0)$

चरण 10.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.2.1

$π$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{π}{2} + 0$

चरण 10.1.2.2

$\frac{π}{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{π}{2}$

चरण 10.1.3

अंतराल $(0, 2 π)$ में $\frac{π}{2}$ है.

$x = \frac{π}{2}$

चरण 10.2

$n$ के लिए $1$ प्लग इन करें और यह देखने के लिए सरल करें कि हल $(0, 2 π)$ में है या नहीं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$n$ के लिए $1$ प्लग इन करें.

$\frac{π}{2} + π (1)$

चरण 10.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.2.1

$π$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{π}{2} + π$

चरण 10.2.2.2

$π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}$

चरण 10.2.2.3

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.2.3.1

$π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}$

चरण 10.2.2.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{π + π \cdot 2}{2}$

चरण 10.2.2.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.2.4.1

$2$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{π + 2 \cdot π}{2}$

चरण 10.2.2.4.2

$π$ और $2 π$ जोड़ें.

$\frac{3 π}{2}$

चरण 10.2.3

अंतराल $(0, 2 π)$ में $\frac{3 π}{2}$ है.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$