प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x + 2}$

चरण 1

पता करें कि व्यंजक/अभिव्यक्ति $\frac{x^{2} - 1}{x + 2}$ कहाँ अपरिभाषित है.

$x = - 2$

चरण 2

परिमेय फलन $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ पर विचार करें जहां $n$ न्यूमेरेटर की घात है और $m$ भाजक की घात है.

1. यदि $n < m$ , तो x-अक्ष, $y = 0$ , हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट है.

2. यदि $n = m$ है, तो हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट रेखा $y = \frac{a}{b}$ है.

3. यदि $n > m$ है, तो कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है (एक तिरछी अनंतस्पर्शी है).

चरण 3

$n$ और $m$ पता करें.

$n = 2$

$m = 1$

चरण 4

चूंकि $n > m$ , कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है.

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

चरण 5

बहुपद भाजन का उपयोग करके तिरछी अनंतस्पर्शी पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x + 2}$

चरण 5.1.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 2}$

चरण 5.2

$(x + 1) (x - 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x (x - 1) + 1 (x - 1)}{x + 2}$

चरण 5.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}{x + 2}$

चरण 5.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}{x + 2}$

चरण 5.2.4

$x$ और $- 1$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x + 2}$

चरण 5.2.5

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x + 2}$

चरण 5.2.6

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x + 2}$

चरण 5.2.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x + 2}$

चरण 5.2.8

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x + 2}$

चरण 5.2.9

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}{x + 2}$

चरण 5.2.10

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} - 1 x + x - 1}{x + 2}$

चरण 5.2.11

$- 1 x$ और $x$ जोड़ें.

$\frac{x^{2} + 0 - 1}{x + 2}$

चरण 5.2.12

$0$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{x^{2} - 1}{x + 2}$

चरण 5.3

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$2$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

चरण 5.4

भाज्य $x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x$
	$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

चरण 5.5

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$

चरण 5.6

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{2} + 2 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$

चरण 5.7

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$

चरण 5.8

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	-	$1$

चरण 5.9

भाज्य $- 2 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	-	$1$

चरण 5.10

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	-	$1$
					-	$2 x$	-	$4$

चरण 5.11

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 2 x - 4$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	-	$1$
					+	$2 x$	+	$4$

चरण 5.12

				$x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	-	$1$
					+	$2 x$	+	$4$
							+	$3$

चरण 5.13

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$x - 2 + \frac{3}{x + 2}$

चरण 5.14

तिरछी अनंतस्पर्शी दीर्घ विभाजन परिणाम का लंबा भाग है.

$y = x - 2$

चरण 6

यह सभी अनंतस्पर्शी का सेट है.

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी: $x = - 2$

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

तिरछी अनंतस्पर्शी: $y = x - 2$

चरण 7