प्री-कैलकुलस उदाहरण

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} - 1 x - 30}{x - 2}$

चरण 1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 1.1

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} - x - 30}{x - 2}$

चरण 1.2

$x^{3} + 6 x^{2} - x - 30$ को गुणनखंड रूप में फिर से लिखें.

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चरण 1.2.1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $x^{3} + 6 x^{2} - x - 30$ है.

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चरण 1.2.1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

$q = \pm 1$

चरण 1.2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

चरण 1.2.1.3

$2$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $2$ बहुपद का मूल है.

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चरण 1.2.1.3.1

$2$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$2^{3} + 6 \cdot 2^{2} - 2 - 30$

चरण 1.2.1.3.2

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$8 + 6 \cdot 2^{2} - 2 - 30$

चरण 1.2.1.3.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$8 + 6 \cdot 4 - 2 - 30$

चरण 1.2.1.3.4

$6$ को $4$ से गुणा करें.

$8 + 24 - 2 - 30$

चरण 1.2.1.3.5

$8$ और $24$ जोड़ें.

$32 - 2 - 30$

चरण 1.2.1.3.6

$32$ में से $2$ घटाएं.

$30 - 30$

चरण 1.2.1.3.7

$30$ में से $30$ घटाएं.

$0$

चरण 1.2.1.4

चूँकि $2$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x - 2$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} - x - 30}{x - 2}$

चरण 1.2.1.5

$x^{3} + 6 x^{2} - x - 30$ को $x - 2$ से विभाजित करें.

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चरण 1.2.1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$x$

$30$

चरण 1.2.1.5.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$

चरण 1.2.1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

चरण 1.2.1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} - 2 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

चरण 1.2.1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$

चरण 1.2.1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$x$

चरण 1.2.1.5.7

भाज्य $8 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$x$

चरण 1.2.1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$x$
					+	$8 x^{2}$	-	$16 x$

चरण 1.2.1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $8 x^{2} - 16 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$x$
					-	$8 x^{2}$	+	$16 x$

चरण 1.2.1.5.10

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$x$
					-	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$15 x$

चरण 1.2.1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$x$
					-	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$15 x$	-	$30$

चरण 1.2.1.5.12

भाज्य $15 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$x$
					-	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$15 x$	-	$30$

चरण 1.2.1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$x$
					-	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$15 x$	-	$30$
							+	$15 x$	-	$30$

चरण 1.2.1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $15 x - 30$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$x$
					-	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$15 x$	-	$30$
							-	$15 x$	+	$30$

चरण 1.2.1.5.15

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$x$
					-	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$15 x$	-	$30$
							-	$15 x$	+	$30$
										$0$

चरण 1.2.1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} + 8 x + 15$

चरण 1.2.1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{3} + 6 x^{2} - x - 30$ लिखें.

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 8 x + 15)}{x - 2}$

चरण 1.2.2

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} + 8 x + 15$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $15$ है और जिसका योग $8$ है.

$3, 5$

चरण 1.2.2.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$\frac{(x - 2) ((x + 3) (x + 5))}{x - 2}$

$\frac{(x - 2) (x + 3) (x + 5)}{x - 2}$

चरण 2

$x - 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(x - 2) (x + 3) (x + 5)}{x - 2}$

चरण 2.2

$(x + 3) (x + 5)$ को $1$ से विभाजित करें.

$(x + 3) (x + 5)$

चरण 3

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + 3) (x + 5)$ का प्रसार करें.

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चरण 3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x (x + 5) + 3 (x + 5)$

चरण 3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x \cdot x + x \cdot 5 + 3 (x + 5)$

चरण 3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x \cdot x + x \cdot 5 + 3 x + 3 \cdot 5$

चरण 4

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

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चरण 4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$x^{2} + x \cdot 5 + 3 x + 3 \cdot 5$

चरण 4.1.2

$5$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x^{2} + 5 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 5$

चरण 4.1.3

$3$ को $5$ से गुणा करें.

$x^{2} + 5 x + 3 x + 15$

चरण 4.2

$5 x$ और $3 x$ जोड़ें.

$x^{2} + 8 x + 15$