प्री-कैलकुलस उदाहरण

$\frac{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{9} x^{2} + \frac{2}{27} x - \frac{1}{81}}{x - \frac{1}{3}}$

चरण 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $81$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\frac{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{9} x^{2} + \frac{2}{27} x - \frac{1}{81}}{x - \frac{1}{3}}$ को $\frac{81}{81}$ से गुणा करें.

$\frac{81}{81} \cdot \frac{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{9} x^{2} + \frac{2}{27} x - \frac{1}{81}}{x - \frac{1}{3}}$

चरण 1.2

जोड़ना.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{9} x^{2} + \frac{2}{27} x - \frac{1}{81})}{81 (x - \frac{1}{3})}$

चरण 2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) + 81 (- \frac{1}{81})}{81 x + 81 (- \frac{1}{3})}$

चरण 3

रद्द करके सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$81$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$- \frac{1}{81}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) + 81 (\frac{- 1}{81})}{81 x + 81 (- \frac{1}{3})}$

चरण 3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) + 81 (\frac{- 1}{81})}{81 x + 81 (- \frac{1}{3})}$

चरण 3.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 81 (- \frac{1}{3})}$

चरण 3.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$- \frac{1}{3}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 81 (\frac{- 1}{3})}$

चरण 3.2.2

$81$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 3 (27) \frac{- 1}{3}}$

चरण 3.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 3 \cdot 27 \frac{- 1}{3}}$

चरण 3.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 27 \cdot - 1}$

चरण 3.3

$27$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x - 27}$

चरण 4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$81$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (27) \frac{1}{3} x^{3} + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

चरण 4.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 \cdot 27 \frac{1}{3} x^{3} + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

चरण 4.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{27 x^{3} + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

चरण 4.2

$x^{2}$ और $\frac{2}{9}$ को मिलाएं.

$\frac{27 x^{3} + 81 (- \frac{x^{2} \cdot 2}{9}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

चरण 4.3

$9$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$- \frac{x^{2} \cdot 2}{9}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{27 x^{3} + 81 \frac{- x^{2} \cdot 2}{9} + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

चरण 4.3.2

$81$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$\frac{27 x^{3} + 9 (9) \frac{- x^{2} \cdot 2}{9} + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

चरण 4.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{27 x^{3} + 9 \cdot 9 \frac{- x^{2} \cdot 2}{9} + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

चरण 4.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{27 x^{3} + 9 (- x^{2} \cdot 2) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

चरण 4.4

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{27 x^{3} + 9 (- 2 x^{2}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

चरण 4.5

$- 2$ को $9$ से गुणा करें.

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

चरण 4.6

$27$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

$81$ में से $27$ का गुणनखंड करें.

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 27 (3) \frac{2}{27} x - 1}{81 x - 27}$

चरण 4.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 27 \cdot 3 \frac{2}{27} x - 1}{81 x - 27}$

चरण 4.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 3 \cdot 2 x - 1}{81 x - 27}$

चरण 4.7

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1}{81 x - 27}$

चरण 4.8

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.8.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

चरण 4.8.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 0.\overline{037}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.\overline{1}$

चरण 4.8.3

$0.\overline{3}$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $0.\overline{3}$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.8.3.1

$0.\overline{3}$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$27 \cdot {0.\overline{3}}^{3} - 18 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

चरण 4.8.3.2

$0.\overline{3}$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$27 \cdot 0.\overline{037} - 18 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

चरण 4.8.3.3

$27$ को $0.\overline{037}$ से गुणा करें.

$1 - 18 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

चरण 4.8.3.4

$0.\overline{3}$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 - 18 \cdot 0.\overline{1} + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

चरण 4.8.3.5

$- 18$ को $0.\overline{1}$ से गुणा करें.

$1 - 2 + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

चरण 4.8.3.6

$1$ में से $2$ घटाएं.

$- 1 + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

चरण 4.8.3.7

$6$ को $0.\overline{3}$ से गुणा करें.

$- 1 + 2 - 1$

चरण 4.8.3.8

$- 1$ और $2$ जोड़ें.

$1 - 1$

चरण 4.8.3.9

$1$ में से $1$ घटाएं.

$0$

चरण 4.8.4

चूँकि $0.\overline{3}$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $3 x - 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1}{3 x - 1}$

चरण 4.8.5

$27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1$ को $3 x - 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.8.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$3 x$

$1$

$27 x^{3}$

$18 x^{2}$

$6 x$

$1$

चरण 4.8.5.2

भाज्य $27 x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $3 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$9 x^{2}$
	$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$

चरण 4.8.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$9 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			+	$27 x^{3}$	-	$9 x^{2}$

चरण 4.8.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $27 x^{3} - 9 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$9 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$

चरण 4.8.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$9 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$

चरण 4.8.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$9 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$

चरण 4.8.5.7

भाज्य $- 9 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $3 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$

चरण 4.8.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$3 x$

चरण 4.8.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 9 x^{2} + 3 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$

चरण 4.8.5.10

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$

चरण 4.8.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$

चरण 4.8.5.12

भाज्य $3 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $3 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$

चरण 4.8.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$
							+	$3 x$	-	$1$

चरण 4.8.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $3 x - 1$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$9 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$
							-	$3 x$	+	$1$

चरण 4.8.5.15

				$9 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$
							-	$3 x$	+	$1$
										$0$

चरण 4.8.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$9 x^{2} - 3 x + 1$

चरण 4.8.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1$ लिखें.

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{81 x - 27}$

चरण 5

$81 x - 27$ में से $27$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$81 x$ में से $27$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{27 (3 x) - 27}$

चरण 5.2

$- 27$ में से $27$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{27 (3 x) + 27 (- 1)}$

चरण 5.3

$27 (3 x) + 27 (- 1)$ में से $27$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{27 (3 x - 1)}$

चरण 6

$3 x - 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{27 (3 x - 1)}$

चरण 6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{9 x^{2} - 3 x + 1}{27}$

चरण 7

भिन्न $\frac{9 x^{2} - 3 x + 1}{27}$ को दो भिन्नों में विभाजित करें.

$\frac{9 x^{2} - 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

चरण 8

भिन्न $\frac{9 x^{2} - 3 x}{27}$ को दो भिन्नों में विभाजित करें.

$\frac{9 x^{2}}{27} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

चरण 9

$9$ और $27$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$9 x^{2}$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$\frac{9 (x^{2})}{27} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

चरण 9.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$27$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$\frac{9 x^{2}}{9 \cdot 3} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

चरण 9.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{9 x^{2}}{9 \cdot 3} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

चरण 9.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

चरण 10

$- 3$ और $27$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$- 3 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 (- x)}{27} + \frac{1}{27}$

चरण 10.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$27$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 (- x)}{3 (9)} + \frac{1}{27}$

चरण 10.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 (- x)}{3 \cdot 9} + \frac{1}{27}$

चरण 10.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{- x}{9} + \frac{1}{27}$

चरण 11

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{x}{9} + \frac{1}{27}$