प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3} - 15 x^{2} + 18 x + 54$

चरण 1

$x^{4} - 2 x^{3} - 15 x^{2} + 18 x + 54$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{4} - 2 x^{3} - 15 x^{2} + 18 x + 54 = 0$

चरण 2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

पदों को फिर से समूहित करें.

$- 2 x^{3} + 18 x + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

चरण 2.1.2

$- 2 x^{3} + 18 x$ में से $- 2 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

$- 2 x^{3}$ में से $- 2 x$ का गुणनखंड करें.

$- 2 x \cdot x^{2} + 18 x + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

चरण 2.1.2.2

$18 x$ में से $- 2 x$ का गुणनखंड करें.

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot - 9 + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

चरण 2.1.2.3

$- 2 x (x^{2}) - 2 x (- 9)$ में से $- 2 x$ का गुणनखंड करें.

$- 2 x (x^{2} - 9) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

चरण 2.1.3

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 2 x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

चरण 2.1.4

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 3$ .

$- 2 x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

चरण 2.1.4.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

चरण 2.1.5

$x^{4}$ को ${(x^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} + 54 = 0$

चरण 2.1.6

मान लीजिए $u = x^{2}$ . $x^{2}$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 15 u + 54 = 0$

चरण 2.1.7

AC विधि का उपयोग करके $u^{2} - 15 u + 54$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.7.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $54$ है और जिसका योग $- 15$ है.

$- 9, - 6$

चरण 2.1.7.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u - 6) = 0$

चरण 2.1.8

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} - 6) = 0$

चरण 2.1.9

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} - 6) = 0$

चरण 2.1.10

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6) = 0$

चरण 2.1.11

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6)$ में से $(x + 3) (x - 3)$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.11.1

$- 2 x (x + 3) (x - 3)$ में से $(x + 3) (x - 3)$ का गुणनखंड करें.

$(x + 3) (x - 3) (- 2 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6) = 0$

चरण 2.1.11.2

$(x + 3) (x - 3) (- 2 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6)$ में से $(x + 3) (x - 3)$ का गुणनखंड करें.

$(x + 3) (x - 3) (- 2 x + x^{2} - 6) = 0$

चरण 2.1.12

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 2 x - 6) = 0$

चरण 2.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} - 2 x - 6 = 0$

चरण 2.3

$x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 3 = 0$

चरण 2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $3$ घटाएं.

$x = - 3$

चरण 2.4

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 3 = 0$

चरण 2.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$x = 3$

चरण 2.5

$x^{2} - 2 x - 6$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$x^{2} - 2 x - 6$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} - 2 x - 6 = 0$

चरण 2.5.2

$x$ के लिए $x^{2} - 2 x - 6 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 2.5.2.2

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = - 2$ और $c = - 6$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.3.1.1

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.3.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.3.1.2.2

$- 4$ को $- 6$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.3.1.3

$4$ और $24$ जोड़ें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.3.1.4

$28$ को $2^{2} \cdot 7$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.3.1.4.1

$28$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.3.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.3.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.3.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

चरण 2.5.2.3.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ को सरल करें.

$x = 1 \pm \sqrt{7}$

चरण 2.5.2.4

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = 1 + \sqrt{7}, 1 - \sqrt{7}$

चरण 2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 2 x - 6) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - 3, 3, 1 + \sqrt{7}, 1 - \sqrt{7}$

चरण 3

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$x = - 3, 3, 1 + \sqrt{7}, 1 - \sqrt{7}$

दशमलव रूप:

$x = - 3, 3, 3.64575131 \dots, - 1.64575131 \dots$

चरण 4