प्री-कैलकुलस उदाहरण

$x^{3} + 9 x^{2} + 14 x - 24 = (x + 6)$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $(x + 6)$ घटाएं.

$x^{3} + 9 x^{2} + 14 x - 24 - (x + 6) = 0$

चरण 2

$x^{3} + 9 x^{2} + 14 x - 24 - (x + 6)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{3} + 9 x^{2} + 14 x - 24 - x - 1 \cdot 6 = 0$

चरण 2.1.2

$- 1$ को $6$ से गुणा करें.

$x^{3} + 9 x^{2} + 14 x - 24 - x - 6 = 0$

चरण 2.2

$14 x$ में से $x$ घटाएं.

$x^{3} + 9 x^{2} + 13 x - 24 - 6 = 0$

चरण 2.3

$- 24$ में से $6$ घटाएं.

$x^{3} + 9 x^{2} + 13 x - 30 = 0$

चरण 3

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $x^{3} + 9 x^{2} + 13 x - 30$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

$q = \pm 1$

चरण 3.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

चरण 3.3

$- 6$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $- 6$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$- 6$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

${(- 6)}^{3} + 9 {(- 6)}^{2} + 13 \cdot - 6 - 30$

चरण 3.3.2

$- 6$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 216 + 9 {(- 6)}^{2} + 13 \cdot - 6 - 30$

चरण 3.3.3

$- 6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 216 + 9 \cdot 36 + 13 \cdot - 6 - 30$

चरण 3.3.4

$9$ को $36$ से गुणा करें.

$- 216 + 324 + 13 \cdot - 6 - 30$

चरण 3.3.5

$- 216$ और $324$ जोड़ें.

$108 + 13 \cdot - 6 - 30$

चरण 3.3.6

$13$ को $- 6$ से गुणा करें.

$108 - 78 - 30$

चरण 3.3.7

$108$ में से $78$ घटाएं.

$30 - 30$

चरण 3.3.8

$30$ में से $30$ घटाएं.

$0$

चरण 3.4

चूँकि $- 6$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x + 6$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 13 x - 30}{x + 6}$

चरण 3.5

$x^{3} + 9 x^{2} + 13 x - 30$ को $x + 6$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$6$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$13 x$

$30$

चरण 3.5.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$

चरण 3.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			+	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$

चरण 3.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} + 6 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$

चरण 3.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

चरण 3.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$13 x$

चरण 3.5.7

भाज्य $3 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$13 x$

चरण 3.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$13 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$18 x$

चरण 3.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $3 x^{2} + 18 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$18 x$

चरण 3.5.10

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$5 x$

चरण 3.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$5 x$	-	$30$

चरण 3.5.12

भाज्य $- 5 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$5$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$5 x$	-	$30$

चरण 3.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$5$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$5 x$	-	$30$
							-	$5 x$	-	$30$

चरण 3.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 5 x - 30$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$5$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$5 x$	-	$30$
							+	$5 x$	+	$30$

चरण 3.5.15

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$5$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$5 x$	-	$30$
							+	$5 x$	+	$30$
										$0$

चरण 3.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} + 3 x - 5$

चरण 3.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{3} + 9 x^{2} + 13 x - 30$ लिखें.

$(x + 6) (x^{2} + 3 x - 5) = 0$

चरण 4

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x + 6 = 0$

$x^{2} + 3 x - 5 = 0$

चरण 5

$x + 6$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$x + 6$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 6 = 0$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $6$ घटाएं.

$x = - 6$

चरण 6

$x^{2} + 3 x - 5$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x^{2} + 3 x - 5$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} + 3 x - 5 = 0$

चरण 6.2

$x$ के लिए $x^{2} + 3 x - 5 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 6.2.2

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = 3$ और $c = - 5$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

चरण 6.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1.1

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

चरण 6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

चरण 6.2.3.1.2.2

$- 4$ को $- 5$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 20}}{2 \cdot 1}$

चरण 6.2.3.1.3

$9$ और $20$ जोड़ें.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

चरण 6.2.3.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{29}}{2}$

चरण 6.2.4

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.4.1.1

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

चरण 6.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.4.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

चरण 6.2.4.1.2.2

$- 4$ को $- 5$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 20}}{2 \cdot 1}$

चरण 6.2.4.1.3

$9$ और $20$ जोड़ें.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

चरण 6.2.4.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{29}}{2}$

चरण 6.2.4.3

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$x = \frac{- 3 + \sqrt{29}}{2}$

चरण 6.2.4.4

$- 3$ को $- 1 (3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{29}}{2}$

चरण 6.2.4.5

$\sqrt{29}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{29})}{2}$

चरण 6.2.4.6

$- 1 (3) - 1 (- \sqrt{29})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 1 (3 - \sqrt{29})}{2}$

चरण 6.2.4.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x = - \frac{3 - \sqrt{29}}{2}$

चरण 6.2.5

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.5.1.1

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

चरण 6.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.5.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

चरण 6.2.5.1.2.2

$- 4$ को $- 5$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 20}}{2 \cdot 1}$

चरण 6.2.5.1.3

$9$ और $20$ जोड़ें.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

चरण 6.2.5.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{29}}{2}$

चरण 6.2.5.3

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$x = \frac{- 3 - \sqrt{29}}{2}$

चरण 6.2.5.4

$- 3$ को $- 1 (3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{29}}{2}$

चरण 6.2.5.5

$- \sqrt{29}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{29})}{2}$

चरण 6.2.5.6

$- 1 (3) - (\sqrt{29})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 1 (3 + \sqrt{29})}{2}$

चरण 6.2.5.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x = - \frac{3 + \sqrt{29}}{2}$

चरण 6.2.6

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = - \frac{3 - \sqrt{29}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{29}}{2}$

चरण 7

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x + 6) (x^{2} + 3 x - 5) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - 6, - \frac{3 - \sqrt{29}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{29}}{2}$

चरण 8

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$x = - 6, - \frac{3 - \sqrt{29}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{29}}{2}$

दशमलव रूप:

$x = - 6, 1.19258240 \dots, - 4.19258240 \dots$