प्री-कैलकुलस उदाहरण

$- 4 x^{2} + 4 x - 1$

चरण 1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

चरण 2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}$

चरण 3

वास्तविक मूल ज्ञात करने के लिए बहुपद में संभावित मूलों को एक-एक करके प्रतिस्थापित करें. यह जांचने के लिए सरल करें कि क्या मान $0$ है, जिसका मतलब है कि यह एक मूल है.

$- 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

चरण 4

व्यंजक को सरल बनाएंं. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $x = \frac{1}{2}$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{1}{2}$ पर लागू करें.

$- 4 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

चरण 4.1.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$- 4 \frac{1}{2^{2}} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

चरण 4.1.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 4 (\frac{1}{4}) + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

चरण 4.1.4

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.1

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$4 (- 1) \frac{1}{4} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

चरण 4.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 \cdot - 1 \frac{1}{4} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

चरण 4.1.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 1 + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

चरण 4.1.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.5.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- 1 + 2 (2) \frac{1}{2} - 1$

चरण 4.1.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- 1 + 2 \cdot 2 \frac{1}{2} - 1$

चरण 4.1.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 1 + 2 - 1$

चरण 4.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$- 1$ और $2$ जोड़ें.

$1 - 1$

चरण 4.2.2

$1$ में से $1$ घटाएं.

$0$

चरण 5

चूंकि $\frac{1}{2}$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x - \frac{1}{2}$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{- 4 x^{2} + 4 x - 1}{x - \frac{1}{2}}$

चरण 6

इसके बाद, शेष बहुपद के मूल ज्ञात कीजिए. बहुपद के क्रम को $1$ से कम कर दिया गया है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$

चरण 6.2

भाज्य $(- 4)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$

	$- 4$

चरण 6.3

परिणाम $(- 4)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(\frac{1}{2})$ से गुणा करें और $(- 2)$ के परिणाम को भाज्य $(4)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$
	$- 4$

चरण 6.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$
	$- 4$	$2$

चरण 6.5

परिणाम $(2)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(\frac{1}{2})$ से गुणा करें और $(1)$ के परिणाम को भाज्य $(- 1)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$	$1$
	$- 4$	$2$

चरण 6.6

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$	$1$
	$- 4$	$2$	$0$

चरण 6.7

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$(- 4) x + 2$

चरण 6.8

भागफल बहुपद को सरल करें.

$- 4 x + 2$

चरण 7

$- 4 x + 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- 4 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (- 2 x) + 2)$

चरण 7.2

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (- 2 x) + 2 (1))$

चरण 7.3

$2 (- 2 x) + 2 (1)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (- 2 x + 1))$

चरण 8

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$- 4 x^{2} + 4 x - 1$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$- 4 x^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (4 x^{2}) + 4 x - 1 = 0$

चरण 8.1.2

$4 x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 = 0$

चरण 8.1.3

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$- (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot 1 = 0$

चरण 8.1.4

$- (4 x^{2}) - (- 4 x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (4 x^{2} - 4 x) - 1 \cdot 1 = 0$

चरण 8.1.5

$- (4 x^{2} - 4 x) - 1 (1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (4 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

चरण 8.2

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$4 x^{2}$ को ${(2 x)}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- ({(2 x)}^{2} - 4 x + 1) = 0$

चरण 8.2.2

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- ({(2 x)}^{2} - 4 x + 1^{2}) = 0$

चरण 8.2.3

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$4 x = 2 \cdot (2 x) \cdot 1$

चरण 8.2.4

बहुपद को फिर से लिखें.

$- ({(2 x)}^{2} - 2 \cdot (2 x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

चरण 8.2.5

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = 2 x$ और $b = 1$ है.

$- {(2 x - 1)}^{2} = 0$

चरण 9

$- {(2 x - 1)}^{2} = 0$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$- {(2 x - 1)}^{2} = 0$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- {(2 x - 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

चरण 9.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

चरण 9.2.2

${(2 x - 1)}^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

${(2 x - 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

चरण 9.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$0$ को $- 1$ से विभाजित करें.

${(2 x - 1)}^{2} = 0$

चरण 10

$2 x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 x - 1 = 0$

चरण 11

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$2 x = 1$

चरण 11.2

$2 x = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

$2 x = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 11.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 11.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{1}{2}$

चरण 12