प्री-कैलकुलस उदाहरण

$x^{5} - 4 x^{4} - 3 x^{3} + 22 x^{2} - 4 x - 24$

चरण 1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$

$q = \pm 1$

चरण 2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$

चरण 3

वास्तविक मूल ज्ञात करने के लिए बहुपद में संभावित मूलों को एक-एक करके प्रतिस्थापित करें. यह जांचने के लिए सरल करें कि क्या मान $0$ है, जिसका मतलब है कि यह एक मूल है.

${(- 1)}^{5} - 4 {(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{3} + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

चरण 4

व्यंजक को सरल बनाएंं. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $x = - 1$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$- 1$ को $5$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 1 - 4 {(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{3} + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

चरण 4.1.2

$- 1$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 1 - 4 \cdot 1 - 3 {(- 1)}^{3} + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

चरण 4.1.3

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1 - 4 - 3 {(- 1)}^{3} + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

चरण 4.1.4

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 1 - 4 - 3 \cdot - 1 + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

चरण 4.1.5

$- 3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 1 - 4 + 3 + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

चरण 4.1.6

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 1 - 4 + 3 + 22 \cdot 1 - 4 \cdot - 1 - 24$

चरण 4.1.7

$22$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1 - 4 + 3 + 22 - 4 \cdot - 1 - 24$

चरण 4.1.8

$- 4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 1 - 4 + 3 + 22 + 4 - 24$

चरण 4.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$- 1$ में से $4$ घटाएं.

$- 5 + 3 + 22 + 4 - 24$

चरण 4.2.2

$- 5$ और $3$ जोड़ें.

$- 2 + 22 + 4 - 24$

चरण 4.2.3

$- 2$ और $22$ जोड़ें.

$20 + 4 - 24$

चरण 4.2.4

$20$ और $4$ जोड़ें.

$24 - 24$

चरण 4.2.5

$24$ में से $24$ घटाएं.

$0$

चरण 5

चूंकि $- 1$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x + 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{5} - 4 x^{4} - 3 x^{3} + 22 x^{2} - 4 x - 24}{x + 1}$

चरण 6

इसके बाद, शेष बहुपद के मूल ज्ञात कीजिए. बहुपद के क्रम को $1$ से कम कर दिया गया है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$

चरण 6.2

भाज्य $(1)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$

	$1$

चरण 6.3

परिणाम $(1)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 1)$ से गुणा करें और $(- 1)$ के परिणाम को भाज्य $(- 4)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$
	$1$

चरण 6.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$
	$1$	$- 5$

चरण 6.5

परिणाम $(- 5)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 1)$ से गुणा करें और $(5)$ के परिणाम को भाज्य $(- 3)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$
	$1$	$- 5$

चरण 6.6

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$
	$1$	$- 5$	$2$

चरण 6.7

परिणाम $(2)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 1)$ से गुणा करें और $(- 2)$ के परिणाम को भाज्य $(22)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$
	$1$	$- 5$	$2$

चरण 6.8

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$
	$1$	$- 5$	$2$	$20$

चरण 6.9

परिणाम $(20)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 1)$ से गुणा करें और $(- 20)$ के परिणाम को भाज्य $(- 4)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$	$- 20$
	$1$	$- 5$	$2$	$20$

चरण 6.10

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$	$- 20$
	$1$	$- 5$	$2$	$20$	$- 24$

चरण 6.11

परिणाम $(- 24)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 1)$ से गुणा करें और $(24)$ के परिणाम को भाज्य $(- 24)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$	$- 20$	$24$
	$1$	$- 5$	$2$	$20$	$- 24$

चरण 6.12

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$	$- 20$	$24$
	$1$	$- 5$	$2$	$20$	$- 24$	$0$

चरण 6.13

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$1 x^{4} + - 5 x^{3} + 2 x^{2} + 20 x - 24$

चरण 6.14

भागफल बहुपद को सरल करें.

$x^{4} - 5 x^{3} + 2 x^{2} + 20 x - 24$

चरण 7

किसी भी शेष मूल को ज्ञात करने के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

पदों को फिर से समूहित करें.

$- 5 x^{3} + 20 x + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

चरण 7.1.2

$- 5 x^{3} + 20 x$ में से $- 5 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.2.1

$- 5 x^{3}$ में से $- 5 x$ का गुणनखंड करें.

$- 5 x \cdot x^{2} + 20 x + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

चरण 7.1.2.2

$20 x$ में से $- 5 x$ का गुणनखंड करें.

$- 5 x \cdot x^{2} - 5 x \cdot - 4 + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

चरण 7.1.2.3

$- 5 x (x^{2}) - 5 x (- 4)$ में से $- 5 x$ का गुणनखंड करें.

$- 5 x (x^{2} - 4) + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

चरण 7.1.3

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 5 x (x^{2} - 2^{2}) + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

चरण 7.1.4

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.4.1

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 2$ .

$- 5 x ((x + 2) (x - 2)) + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

चरण 7.1.4.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

चरण 7.1.5

$x^{4}$ को ${(x^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} - 24 = 0$

चरण 7.1.6

मान लीजिए $u = x^{2}$ . $x^{2}$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + u^{2} + 2 u - 24 = 0$

चरण 7.1.7

AC विधि का उपयोग करके $u^{2} + 2 u - 24$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.7.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 24$ है और जिसका योग $2$ है.

$- 4, 6$

चरण 7.1.7.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + (u - 4) (u + 6) = 0$

चरण 7.1.8

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 4) (x^{2} + 6) = 0$

चरण 7.1.9

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 6) = 0$

चरण 7.1.10

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 6) = 0$

चरण 7.1.11

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 6)$ में से $(x + 2) (x - 2)$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.11.1

$- 5 x (x + 2) (x - 2)$ में से $(x + 2) (x - 2)$ का गुणनखंड करें.

$(x + 2) (x - 2) (- 5 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 6) = 0$

चरण 7.1.11.2

$(x + 2) (x - 2) (- 5 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 6)$ में से $(x + 2) (x - 2)$ का गुणनखंड करें.

$(x + 2) (x - 2) (- 5 x + x^{2} + 6) = 0$

चरण 7.1.12

मान लीजिए $u = x$ . $x$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$(x + 2) (x - 2) (- 5 u + u^{2} + 6) = 0$

चरण 7.1.13

AC विधि का उपयोग करके $- 5 u + u^{2} + 6$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.13.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $6$ है और जिसका योग $- 5$ है.

$- 3, - 2$

चरण 7.1.13.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(x + 2) (x - 2) ((u - 3) (u - 2)) = 0$

चरण 7.1.14

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.14.1

$u$ की सभी घटनाओं को $x$ से बदलें.

$(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x - 2)) = 0$

चरण 7.1.14.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(x + 2) (x - 2) (x - 3) (x - 2) = 0$

चरण 7.1.15

प्रतिपादकों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.15.1

$x - 2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$(x + 2) ((x - 2) (x - 2)) (x - 3) = 0$

चरण 7.1.15.2

$x - 2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$(x + 2) ((x - 2) (x - 2)) (x - 3) = 0$

चरण 7.1.15.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$(x + 2) {(x - 2)}^{1 + 1} (x - 3) = 0$

चरण 7.1.15.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$(x + 2) {(x - 2)}^{2} (x - 3) = 0$

चरण 7.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x + 2 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

चरण 7.3

$x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 2 = 0$

चरण 7.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$x = - 2$

चरण 7.4

${(x - 2)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

${(x - 2)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

${(x - 2)}^{2} = 0$

चरण 7.4.2

$x$ के लिए ${(x - 2)}^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.1

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 2 = 0$

चरण 7.4.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$x = 2$

चरण 7.5

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 3 = 0$

चरण 7.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$x = 3$

चरण 7.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x + 2) {(x - 2)}^{2} (x - 3) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - 2, 2, 3$

चरण 8

बहुपद को रैखिक गुणनखंडों के सेट के रूप में लिखा जा सकता है.

$(x + 1) (x + 2) (x - 2) (x - 3)$

चरण 9

ये बहुपद $x^{5} - 4 x^{4} - 3 x^{3} + 22 x^{2} - 4 x - 24$ के मूल (शून्य) हैं.

$x = - 1, - 2, 2, 3$

चरण 10