प्री-कैलकुलस उदाहरण

$9 x^{4} + 46 x^{3} + 68 x^{2} + 322 x + 35$

चरण 1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 7, \pm 35$

$q = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

चरण 2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{9}, \pm 5, \pm \frac{5}{3}, \pm \frac{5}{9}, \pm 7, \pm \frac{7}{3}, \pm \frac{7}{9}, \pm 35, \pm \frac{35}{3}, \pm \frac{35}{9}$

चरण 3

वास्तविक मूल ज्ञात करने के लिए बहुपद में संभावित मूलों को एक-एक करके प्रतिस्थापित करें. यह जांचने के लिए सरल करें कि क्या मान $0$ है, जिसका मतलब है कि यह एक मूल है.

$9 {(- 5)}^{4} + 46 {(- 5)}^{3} + 68 {(- 5)}^{2} + 322 (- 5) + 35$

चरण 4

व्यंजक को सरल बनाएंं. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $x = - 5$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$- 5$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$9 \cdot 625 + 46 {(- 5)}^{3} + 68 {(- 5)}^{2} + 322 (- 5) + 35$

चरण 4.1.2

$9$ को $625$ से गुणा करें.

$5625 + 46 {(- 5)}^{3} + 68 {(- 5)}^{2} + 322 (- 5) + 35$

चरण 4.1.3

$- 5$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$5625 + 46 \cdot - 125 + 68 {(- 5)}^{2} + 322 (- 5) + 35$

चरण 4.1.4

$46$ को $- 125$ से गुणा करें.

$5625 - 5750 + 68 {(- 5)}^{2} + 322 (- 5) + 35$

चरण 4.1.5

$- 5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$5625 - 5750 + 68 \cdot 25 + 322 (- 5) + 35$

चरण 4.1.6

$68$ को $25$ से गुणा करें.

$5625 - 5750 + 1700 + 322 (- 5) + 35$

चरण 4.1.7

$322$ को $- 5$ से गुणा करें.

$5625 - 5750 + 1700 - 1610 + 35$

चरण 4.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$5625$ में से $5750$ घटाएं.

$- 125 + 1700 - 1610 + 35$

चरण 4.2.2

$- 125$ और $1700$ जोड़ें.

$1575 - 1610 + 35$

चरण 4.2.3

$1575$ में से $1610$ घटाएं.

$- 35 + 35$

चरण 4.2.4

$- 35$ और $35$ जोड़ें.

$0$

चरण 5

चूंकि $- 5$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x + 5$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{9 x^{4} + 46 x^{3} + 68 x^{2} + 322 x + 35}{x + 5}$

चरण 6

इसके बाद, शेष बहुपद के मूल ज्ञात कीजिए. बहुपद के क्रम को $1$ से कम कर दिया गया है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$- 5$	$9$	$46$	$68$	$322$	$35$

चरण 6.2

भाज्य $(9)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$- 5$	$9$	$46$	$68$	$322$	$35$

	$9$

चरण 6.3

परिणाम $(9)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 5)$ से गुणा करें और $(- 45)$ के परिणाम को भाज्य $(46)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 5$	$9$	$46$	$68$	$322$	$35$
		$- 45$
	$9$

चरण 6.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- 5$	$9$	$46$	$68$	$322$	$35$
		$- 45$
	$9$	$1$

चरण 6.5

परिणाम $(1)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 5)$ से गुणा करें और $(- 5)$ के परिणाम को भाज्य $(68)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 5$	$9$	$46$	$68$	$322$	$35$
		$- 45$	$- 5$
	$9$	$1$

चरण 6.6

$- 5$	$9$	$46$	$68$	$322$	$35$
		$- 45$	$- 5$
	$9$	$1$	$63$

चरण 6.7

परिणाम $(63)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 5)$ से गुणा करें और $(- 315)$ के परिणाम को भाज्य $(322)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 5$	$9$	$46$	$68$	$322$	$35$
		$- 45$	$- 5$	$- 315$
	$9$	$1$	$63$

चरण 6.8

$- 5$	$9$	$46$	$68$	$322$	$35$
		$- 45$	$- 5$	$- 315$
	$9$	$1$	$63$	$7$

चरण 6.9

परिणाम $(7)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 5)$ से गुणा करें और $(- 35)$ के परिणाम को भाज्य $(35)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 5$	$9$	$46$	$68$	$322$	$35$
		$- 45$	$- 5$	$- 315$	$- 35$
	$9$	$1$	$63$	$7$

चरण 6.10

$- 5$	$9$	$46$	$68$	$322$	$35$
		$- 45$	$- 5$	$- 315$	$- 35$
	$9$	$1$	$63$	$7$	$0$

चरण 6.11

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$9 x^{3} + 1 x^{2} + (63) x + 7$

चरण 6.12

भागफल बहुपद को सरल करें.

$9 x^{3} + x^{2} + 63 x + 7$

चरण 7

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$(x + 5) (9 x^{3} + x^{2}) + 63 x + 7$

चरण 7.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$(x + 5) + x^{2} (9 x + 1) + 7 (9 x + 1)$

$(x + 5) x^{2} (9 x + 1) + 7 (9 x + 1)$

चरण 8

महत्तम समापवर्तक, $9 x + 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(x + 5) (9 x + 1) (x^{2} + 7)$

चरण 9

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

पदों को फिर से समूहित करें.

$46 x^{3} + 322 x + 9 x^{4} + 68 x^{2} + 35 = 0$

चरण 9.2

$46 x^{3} + 322 x$ में से $46 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$46 x^{3}$ में से $46 x$ का गुणनखंड करें.

$46 x (x^{2}) + 322 x + 9 x^{4} + 68 x^{2} + 35 = 0$

चरण 9.2.2

$322 x$ में से $46 x$ का गुणनखंड करें.

$46 x (x^{2}) + 46 x (7) + 9 x^{4} + 68 x^{2} + 35 = 0$

चरण 9.2.3

$46 x (x^{2}) + 46 x (7)$ में से $46 x$ का गुणनखंड करें.

$46 x (x^{2} + 7) + 9 x^{4} + 68 x^{2} + 35 = 0$

चरण 9.3

$x^{4}$ को ${(x^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$46 x (x^{2} + 7) + 9 {(x^{2})}^{2} + 68 x^{2} + 35 = 0$

चरण 9.4

मान लीजिए $u = x^{2}$ . $x^{2}$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$46 x (x^{2} + 7) + 9 u^{2} + 68 u + 35 = 0$

चरण 9.5

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.5.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 9 \cdot 35 = 315$ है और जिसका योग $b = 68$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.5.1.1

$68 u$ में से $68$ का गुणनखंड करें.

$46 x (x^{2} + 7) + 9 u^{2} + 68 (u) + 35 = 0$

चरण 9.5.1.2

$68$ को $5$ जोड़ $63$ के रूप में फिर से लिखें

$46 x (x^{2} + 7) + 9 u^{2} + (5 + 63) u + 35 = 0$

चरण 9.5.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$46 x (x^{2} + 7) + 9 u^{2} + 5 u + 63 u + 35 = 0$

चरण 9.5.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.5.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$46 x (x^{2} + 7) + 9 u^{2} + 5 u + 63 u + 35 = 0$

चरण 9.5.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$46 x (x^{2} + 7) + u (9 u + 5) + 7 (9 u + 5) = 0$

चरण 9.5.3

महत्तम समापवर्तक, $9 u + 5$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$46 x (x^{2} + 7) + (9 u + 5) (u + 7) = 0$

चरण 9.6

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$46 x (x^{2} + 7) + (9 x^{2} + 5) (x^{2} + 7) = 0$

चरण 9.7

$46 x (x^{2} + 7) + (9 x^{2} + 5) (x^{2} + 7)$ में से $x^{2} + 7$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.7.1

$46 x (x^{2} + 7)$ में से $x^{2} + 7$ का गुणनखंड करें.

$(x^{2} + 7) (46 x) + (9 x^{2} + 5) (x^{2} + 7) = 0$

चरण 9.7.2

$(9 x^{2} + 5) (x^{2} + 7)$ में से $x^{2} + 7$ का गुणनखंड करें.

$(x^{2} + 7) (46 x) + (x^{2} + 7) (9 x^{2} + 5) = 0$

चरण 9.7.3

$(x^{2} + 7) (46 x) + (x^{2} + 7) (9 x^{2} + 5)$ में से $x^{2} + 7$ का गुणनखंड करें.

$(x^{2} + 7) (46 x + 9 x^{2} + 5) = 0$

चरण 9.8

मान लीजिए $u = x$ . $x$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$(x^{2} + 7) (46 u + 9 u^{2} + 5) = 0$

चरण 9.9

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.9.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$(x^{2} + 7) (9 u^{2} + 46 u + 5) = 0$

चरण 9.9.2

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 9 \cdot 5 = 45$ है और जिसका योग $b = 46$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.9.2.1

$46 u$ में से $46$ का गुणनखंड करें.

$(x^{2} + 7) (9 u^{2} + 46 (u) + 5) = 0$

चरण 9.9.2.2

$46$ को $1$ जोड़ $45$ के रूप में फिर से लिखें

$(x^{2} + 7) (9 u^{2} + (1 + 45) u + 5) = 0$

चरण 9.9.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x^{2} + 7) (9 u^{2} + 1 u + 45 u + 5) = 0$

चरण 9.9.2.4

$u$ को $1$ से गुणा करें.

$(x^{2} + 7) (9 u^{2} + u + 45 u + 5) = 0$

चरण 9.9.3

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.9.3.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$(x^{2} + 7) ((9 u^{2} + u) + 45 u + 5) = 0$

चरण 9.9.3.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$(x^{2} + 7) (u (9 u + 1) + 5 (9 u + 1)) = 0$

चरण 9.9.4

महत्तम समापवर्तक, $9 u + 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(x^{2} + 7) ((9 u + 1) (u + 5)) = 0$

चरण 9.10

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.10.1

$u$ की सभी घटनाओं को $x$ से बदलें.

$(x^{2} + 7) ((9 x + 1) (x + 5)) = 0$

चरण 9.10.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(x^{2} + 7) (9 x + 1) (x + 5) = 0$

चरण 10

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x^{2} + 7 = 0$

$9 x + 1 = 0$

$x + 5 = 0$

चरण 11

$x^{2} + 7$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$x^{2} + 7$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} + 7 = 0$

चरण 11.2

$x$ के लिए $x^{2} + 7 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $7$ घटाएं.

$x^{2} = - 7$

चरण 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 7}$

चरण 11.2.3

$\pm \sqrt{- 7}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.3.1

$- 7$ को $- 1 (7)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{- 1 (7)}$

चरण 11.2.3.2

$\sqrt{- 1 (7)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$

चरण 11.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i \sqrt{7}$

चरण 11.2.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = i \sqrt{7}$

चरण 11.2.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - i \sqrt{7}$

चरण 11.2.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = i \sqrt{7}, - i \sqrt{7}$

चरण 12

$9 x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$9 x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$9 x + 1 = 0$

चरण 12.2

$x$ के लिए $9 x + 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$9 x = - 1$

चरण 12.2.2

$9 x = - 1$ के प्रत्येक पद को $9$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.2.1

$9 x = - 1$ के प्रत्येक पद को $9$ से विभाजित करें.

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 1}{9}$

चरण 12.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.2.2.1

$9$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 1}{9}$

चरण 12.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- 1}{9}$

चरण 12.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.2.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x = - \frac{1}{9}$

चरण 13

$x + 5$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$x + 5$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 5 = 0$

चरण 13.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $5$ घटाएं.

$x = - 5$

चरण 14

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x^{2} + 7) (9 x + 1) (x + 5) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = i \sqrt{7}, - i \sqrt{7}, - \frac{1}{9}, - 5$

चरण 15