प्री-कैलकुलस उदाहरण

$4 x^{3} + 8 x^{2} - 11 x - 15$

चरण 1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $4 x^{3} + 8 x^{2} - 11 x - 15$ है.

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चरण 1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

चरण 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 15, \pm 3.75, \pm 7.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 5, \pm 1.25, \pm 2.5$

चरण 1.3

$- 1$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $- 1$ बहुपद का मूल है.

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चरण 1.3.1

$- 1$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$4 {(- 1)}^{3} + 8 {(- 1)}^{2} - 11 \cdot - 1 - 15$

चरण 1.3.2

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 \cdot - 1 + 8 {(- 1)}^{2} - 11 \cdot - 1 - 15$

चरण 1.3.3

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 4 + 8 {(- 1)}^{2} - 11 \cdot - 1 - 15$

चरण 1.3.4

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 4 + 8 \cdot 1 - 11 \cdot - 1 - 15$

चरण 1.3.5

$8$ को $1$ से गुणा करें.

$- 4 + 8 - 11 \cdot - 1 - 15$

चरण 1.3.6

$- 4$ और $8$ जोड़ें.

$4 - 11 \cdot - 1 - 15$

चरण 1.3.7

$- 11$ को $- 1$ से गुणा करें.

$4 + 11 - 15$

चरण 1.3.8

$4$ और $11$ जोड़ें.

$15 - 15$

चरण 1.3.9

$15$ में से $15$ घटाएं.

$0$

चरण 1.4

चूँकि $- 1$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x + 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{4 x^{3} + 8 x^{2} - 11 x - 15}{x + 1}$

चरण 1.5

$4 x^{3} + 8 x^{2} - 11 x - 15$ को $x + 1$ से विभाजित करें.

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चरण 1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$11 x$

$15$

चरण 1.5.2

भाज्य $4 x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$4 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$

चरण 1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			+	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

चरण 1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $4 x^{3} + 4 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$4 x^{2}$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

चरण 1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

चरण 1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$

चरण 1.5.7

भाज्य $4 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$

चरण 1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

चरण 1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $4 x^{2} + 4 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

चरण 1.5.10

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$

चरण 1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	-	$15$

चरण 1.5.12

भाज्य $- 15 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	-	$15$

चरण 1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	-	$15$
							-	$15 x$	-	$15$

चरण 1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 15 x - 15$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	-	$15$
							+	$15 x$	+	$15$

चरण 1.5.15

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	-	$15$
							+	$15 x$	+	$15$
										$0$

चरण 1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$4 x^{2} + 4 x - 15$

चरण 1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $4 x^{3} + 8 x^{2} - 11 x - 15$ लिखें.

$(x + 1) (4 x^{2} + 4 x - 15)$

चरण 2

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

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चरण 2.1

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

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चरण 2.1.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 4 \cdot - 15 = - 60$ है और जिसका योग $b = 4$ है.

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चरण 2.1.1.1

$4 x$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$(x + 1) (4 x^{2} + 4 (x) - 15)$

चरण 2.1.1.2

$4$ को $- 6$ जोड़ $10$ के रूप में फिर से लिखें

$(x + 1) (4 x^{2} + (- 6 + 10) x - 15)$

चरण 2.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x + 1) (4 x^{2} - 6 x + 10 x - 15)$

चरण 2.1.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$(x + 1) ((4 x^{2} - 6 x) + 10 x - 15)$

चरण 2.1.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$(x + 1) (2 x (2 x - 3) + 5 (2 x - 3))$

चरण 2.1.3

महत्तम समापवर्तक, $2 x - 3$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(x + 1) ((2 x - 3) (2 x + 5))$

चरण 2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(x + 1) (2 x - 3) (2 x + 5)$